Un policubo es una figura sólida formada al unir uno o más cubos iguales cara a cara. Los policubos son los análogos tridimensionales de los poliominós planos . El cubo Soma , el cubo Bedlam , el cubo Diabólico , el rompecabezas Slothouber-Graatsma y el rompecabezas Conway son ejemplos de problemas de empaquetamiento basados en policubos. [1]
Enumeración de policubos
Al igual que los poliominós , los policubos se pueden enumerar de dos formas, dependiendo de si los pares quirales de policubos se cuentan como un policubo o dos. Por ejemplo, 6 tetracubos tienen simetría especular y uno es quiral , lo que da un recuento de 7 u 8 tetracubos respectivamente. [2] A diferencia de los poliominós, los policubos generalmente se cuentan con pares de espejos distinguidos, porque no se puede voltear un policubo para reflejarlo como se puede hacer con un poliominó dadas tres dimensiones. En particular, el cubo de Soma usa ambas formas del tetracubo quiral.
Los policubos se clasifican según la cantidad de celdas cúbicas que tienen: [3]
norte | Nombre de n -polycube | Número de n- polycubes unilaterales (las reflexiones se cuentan como distintas) (secuencia A000162 en la OEIS ) | Número de n- polycubes libres (reflexiones contadas juntas) (secuencia A038119 en la OEIS ) |
---|---|---|---|
1 | monocubo | 1 | 1 |
2 | dicube | 1 | 1 |
3 | tricubo | 2 | 2 |
4 | tetracubo | 8 | 7 |
5 | pentacube | 29 | 23 |
6 | hexacubo | 166 | 112 |
7 | heptacube | 1023 | 607 |
8 | octacube | 6922 | 3811 |
Se han enumerado policubos hasta n = 16. [4] Más recientemente, se han investigado familias específicas de policubos. [5] [6]
Simetrías de policubos
Al igual que con los poliominós, los policubos se pueden clasificar según la cantidad de simetrías que tengan. Las simetrías de policubos (clases de conjugación de subgrupos del grupo octaédrico aquiral ) fueron enumeradas por primera vez por WF Lunnon en 1972. La mayoría de los policubos son asimétricos, pero muchos tienen grupos de simetría más complejos, hasta el grupo de simetría completo del cubo con 48 elementos. . Son posibles muchas otras simetrías; por ejemplo, hay siete formas posibles de simetría de 8 pliegues [2]
Propiedades de los pentacubos
12 pentacubos son planos y corresponden a los pentominós . 5 de los 17 restantes tienen simetría especular y los otros 12 forman 6 pares quirales.
Los cuadros delimitadores de los pentacubos tienen tamaños 5 × 1 × 1, 4 × 2 × 1, 3 × 3 × 1, 3 × 2 × 1, 4 × 2 × 2, 3 × 2 × 2 y 2 × 2 × 2 . [7]
Un policubo puede tener hasta 24 orientaciones en la celosía cúbica, o 48, si se permite la reflexión. De los pentacubos, 2 planos (5-1-1 y la cruz) tienen simetría especular en los tres ejes; estos tienen solo tres orientaciones. 10 tienen una simetría especular; estos tienen 12 orientaciones. Cada uno de los 17 pentacubos restantes tiene 24 orientaciones.
Desdoblamientos de octacubos e hipercubos
El tesseract (cuatro dimensiones hipercubo ) tiene ocho cubos como sus facetas , y así como el cubo puede ser desplegado en un hexominó , el tesseract puede ser desplegada en una octacube. Un despliegue, en particular, imita el conocido despliegue de un cubo en una cruz latina : consta de cuatro cubos apilados uno encima del otro, con otros cuatro cubos unidos a las caras cuadradas expuestas del segundo desde arriba. cubo de la pila, para formar una forma de doble cruz tridimensional . Salvador Dalí utilizó esta forma en su pintura de 1954 Crucifixión (Corpus Hypercubus) [8] y se describe en el cuento de 1940 de Robert A. Heinlein " Y construyó una casa torcida ". [9] En honor a Dalí, este octacubo ha recibido el nombre de cruz de Dalí . [10] [11] Puede enlosar el espacio . [10]
De manera más general (respondiendo a una pregunta planteada por Martin Gardner en 1966), de los 3811 octacubos libres diferentes, 261 son despliegues del tesseract. [10] [12]
Conectividad de límites
Aunque se requiere que los cubos de un policubo estén conectados cuadrado a cuadrado, no es necesario que los cuadrados de su límite estén conectados de borde a borde. Por ejemplo, el cubo 26 formado al hacer una cuadrícula de cubos de 3 × 3 × 3 y luego quitar el cubo central es un policubo válido, en el que el límite del vacío interior no está conectado con el límite exterior. Tampoco es necesario que el límite de un policubo forme una variedad . Por ejemplo, uno de los pentacubos tiene dos cubos que se encuentran de borde a borde, de modo que el borde entre ellos es el lado de cuatro cuadrados límite.
Si un policubo tiene la propiedad adicional de que su complemento (el conjunto de cubos enteros que no pertenecen al policubo) está conectado por caminos de cubos que se encuentran de cuadrado a cuadrado, entonces los cuadrados límite del policubo están necesariamente conectados también por caminos. de cuadrados que se encuentran de borde a borde. [13] Es decir, en este caso el límite forma un poliominoide .
¿Se puede desplegar cada policubo con un límite conectado en un poliomino? Si es así, ¿se puede desplegar cada uno de esos policubos en un poliomino que cubra el plano?
Cada k -cubo con k <7 así como la cruz de Dalí (con k = 8 ) se puede desplegar en un polomino que recubre el plano. Es un problema abierto si cada policubo con un límite conectado se puede desplegar en un poliomino, o si esto siempre se puede hacer con la condición adicional de que el poliomino cubra el plano. [11]
Gráfico dual
La estructura de un policubo se puede visualizar mediante un "gráfico dual" que tiene un vértice por cada cubo y una arista por cada dos cubos que comparten un cuadrado. [14] Esto es diferente de las nociones con nombres similares de poliedro dual y del gráfico dual de un gráfico incrustado en la superficie.
Los gráficos duales también se han utilizado para definir y estudiar subclases especiales de policubos, como aquellos cuyo gráfico dual es un árbol. [15]
Ver también
- Embalaje de trípode
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Polycube". De MathWorld
- ↑ a b Lunnon, WF (1972). "Simetría de poliominós cúbicos y generales". En Read, Ronald C. (ed.). Teoría de grafos y computación . Nueva York: Academic Press. págs. 101-108. ISBN 978-1-48325-512-5.
- ↑ Polycubes, en The Poly Pages
- ^ Enumeración de policubos de Kevin Gong
- ^ "Enumeración de clases específicas de policubos", Jean-Marc Champarnaud et al, Université de Rouen, Francia PDF
- ^ "Convolución de Dirichlet y enumeración de policubos piramidales", C. Carré, N. Debroux, M. Deneufchâtel, J. Dubernard, C. Hillairet, J. Luque, O. Mallet; 19 de noviembre de 2013 PDF
- ^ Aarts, Ronald M. "Pentacube" . De MathWorld.
- ^ Kemp, Martin (1 de enero de 1998), "Dimensiones de Dalí", Nature , 391 (27): 27, Bibcode : 1998Natur.391 ... 27K , doi : 10.1038 / 34063
- ^ Fowler, David (2010), "Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction", World Literature Today , 84 (3): 48–52, JSTOR 27871086 ,
"And He Built a Crooked House" de Robert Heinlein, publicado en 1940, y "The No-Sided Professor" de Martin Gardner, publicado en 1946, se encuentran entre los primeros en ciencia ficción en presentar a los lectores la banda de Moebius, la botella de Klein y el hipercubo (tesseract).
. - ^ a b c Díaz, Giovanna; O'Rourke, Joseph (2015), Hypercube despliega ese mosaico y , arXiv : 1512.02086 , Bibcode : 2015arXiv151202086D.
- ^ a b Langerman, Stefan ; Winslow, Andrew (2016), "Despliegues de Polycube que satisfacen el criterio de Conway" (PDF) , XIX Conferencia de Japón sobre geometría, gráficos y juegos discretos y computacionales (JCDCG ^ 3 2016).
- ^ Turney, Peter (1984), "Despliegue del tesseract", Journal of Recreational Mathematics , 17 (1): 1–16, MR 0765344.
- ^ Bagchi, Amitabha; Bhargava, Ankur; Chaudhary, Amitabh; Eppstein, David ; Scheideler, Christian (2006), "The effect of faults on network expansion", Theory of Computing Systems , 39 (6): 903–928, arXiv : cs / 0404029 , doi : 10.1007 / s00224-006-1349-0 , MR 2279081. Ver en particular Lema 3.9, p. 924, que establece una generalización de esta propiedad de conectividad de frontera a policubos de dimensiones superiores.
- ^ Barequet, Ronnie; Barequet, Gill; Rote, Günter (2010), "Fórmulas y tasas de crecimiento de policubos de alta dimensión", Combinatorica , 30 (3): 257–275, doi : 10.1007 / s00493-010-2448-8 , MR 2728490.
- ^ Aloupis, Greg; Bose, Prosenjit K .; Collette, Sébastien; Demaine, Erik D .; Demaine, Martin L .; Douïeb, Karim; Dujmović, Vida; Iacono, John ; Langerman, Stefan ; Morin, Pat (2011), "Desarrollos comunes de poliominós y policubos", Geometría computacional, gráficos y aplicaciones (PDF) , Lecture Notes in Comput. Sci., 7033 , Springer, Heidelberg, págs. 44–54, doi : 10.1007 / 978-3-642-24983-9_5 , MR 2927309.
enlaces externos
- Un hexacubo de madera real construido por Kadon
- Simetrías policubo
- Polycube solucionador de Programa (con Lua código fuente) para llenar cajas con policubos utilizando el algoritmo X .