En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , una serie de subgrupos de un grupo es una cadena de subgrupos :
dónde es el subgrupo trivial . Las series de subgrupos pueden simplificar el estudio de un grupo al estudio de subgrupos más simples y sus relaciones, y varias series de subgrupos pueden definirse invariablemente y son importantes invariantes de grupos. Se utiliza una serie de subgrupos en el método de subgrupos .
Las series de subgrupos son un ejemplo especial del uso de filtraciones en álgebra abstracta .
Definición
Serie normal, serie subnormal
Una serie subnormal (también serie normal , torre normal , serie subinvariante o simplemente serie ) de un grupo G es una secuencia de subgrupos , cada uno de los cuales es un subgrupo normal del siguiente. En una notación estándar
No se exige que A i sea un subgrupo normal de G , solo un subgrupo normal de A i +1 . Los grupos de cocientes A i +1 / A i se denominan grupos de factores de la serie.
Si además cada A i es normal en G , entonces la serie se llama serie normal , cuando este término no se usa para el sentido más débil, o serie invariante .
Largo
Una serie con la propiedad adicional de que A i ≠ A i +1 para todo i se llama serie sin repetición ; de manera equivalente, cada A i es un subgrupo propio de A i +1 . La longitud de una serie es el número de inclusiones estrictas A i < A i +1 . Si la serie no tiene repetición, entonces la longitud es n .
Para una serie subnormal, la longitud es el número de grupos de factores no triviales . Todo grupo no trivial tiene una serie normal de longitud 1, a saber, y cualquier subgrupo normal propio no trivial da una serie normal de longitud 2. Para grupos simples , la serie trivial de longitud 1 es la serie subnormal más larga posible.
Serie ascendente, serie descendente
Las series se pueden anotar en cualquier orden ascendente:
o en orden descendente:
Para una serie finita dada, no hay distinción entre una "serie ascendente" o una "serie descendente" más allá de la notación. Sin embargo, para las series infinitas , hay una distinción: la serie ascendente
tiene un término más pequeño, un segundo término más pequeño, y así sucesivamente, pero ningún término propio más grande, ni un segundo término más grande, y así sucesivamente, mientras que, a la inversa, la serie descendente
tiene un término más grande, pero no un término propio más pequeño.
Además, dada una fórmula recursiva para producir una serie, los términos producidos son ascendentes o descendentes, y uno llama a la serie resultante una serie ascendente o descendente, respectivamente. Por ejemplo, la serie derivada y la serie central inferior son series descendentes, mientras que la serie central superior es una serie ascendente.
Grupos noetherianos, grupos artinianos
Un grupo que satisface la condición de cadena ascendente (ACC) en subgrupos se denomina grupo noetheriano , y un grupo que satisface la condición de cadena descendente (DCC) se denomina grupo artiniano (que no debe confundirse con los grupos Artin ), por analogía con el grupo noetheriano. anillos y anillos artinianos . El ACC es equivalente a la condición máxima : cada colección de subgrupos no vacía tiene un miembro máximo y el DCC es equivalente a la condición mínima análoga .
Un grupo puede ser noetheriano pero no artiniano, como el grupo cíclico infinito , y a diferencia de los anillos , un grupo puede ser artiniano pero no noetheriano, como el grupo Prüfer . Cada grupo finito es claramente noetheriano y artiniano.
Las imágenes homomórficas y los subgrupos de grupos noetherianos son noetherianos, y una extensión de un grupo noetheriano por un grupo noetheriano es noetheriano. Resultados análogos son válidos para los grupos artinianos.
Los grupos noetherianos son de manera equivalente aquellos tales que cada subgrupo se genera finitamente , que es más fuerte que el grupo mismo que se genera finitamente: el grupo libre en 2 o finitamente más generadores se genera finitamente, pero contiene grupos libres de rango infinito.
Los grupos noetherianos no necesitan ser extensiones finitas de grupos policíclicos . [1]
Series infinitas y transfinitas
Las series de subgrupos infinitos también pueden definirse y surgir de forma natural, en cuyo caso el conjunto de indexación específico ( totalmente ordenado ) se vuelve importante y hay una distinción entre series ascendentes y descendentes. Una serie ascendente donde el están indexados por los números naturales pueden simplemente llamarse una serie ascendente infinita y, a la inversa, para una serie descendente infinita . Si los subgrupos están indexados más generalmente por números ordinales , se obtiene una serie transfinita , [2] como esta serie ascendente:
Dada una fórmula recursiva para producir una serie, se puede definir una serie transfinita por recursión transfinita definiendo la serie en ordinales límite por (para series ascendentes) o (para series descendentes). Ejemplos fundamentales de esta construcción son la serie central inferior transfinita y la serie central superior .
Otros conjuntos totalmente ordenados surgen raramente, o nunca, como conjuntos de indexación de series de subgrupos. [ cita requerida ] Por ejemplo, uno puede definir pero rara vez ve series de subgrupos bi-infinitos que ocurren naturalmente (series indexadas por los números enteros ):
Comparación de series
Un refinamiento de una serie es otra serie que contiene cada uno de los términos de la serie original. Se dice que dos series subnormales son equivalentes o isomórficas si hay una biyección entre los conjuntos de sus grupos de factores de manera que los grupos de factores correspondientes son isomórficos . El refinamiento da un orden parcial en las series, hasta la equivalencia, y forman un retículo , mientras que las series subnormales y las series normales forman subrretículos. La existencia del supremo de dos series subnormales es el teorema de refinamiento de Schreier . De particular interés son las series máximas sin repetición.
Ejemplos de
Serie máxima
- Una serie de composición es una serie subnormal máxima .
- De manera equivalente, una serie subnormal para la cual cada uno de los A i es un subgrupo normal máximo de A i +1 . De manera equivalente, una serie de composición es una serie normal para la cual cada uno de los grupos de factores es simple .
- Una serie principal es una serie normal máxima .
Soluble y nilpotente
- Un grupo soluble , o grupo soluble, es uno con una serie subnormal cuyos grupos de factores son todos abelianos .
- Una serie nilpotente es una serie subnormal tal que los cocientes sucesivos son nilpotentes .
- Existe una serie nilpotente si y solo si el grupo tiene solución .
- Una serie central es una serie subnormal tal que los cocientes sucesivos son centrales , es decir, dada la serie anterior, por .
- Existe una serie central si y solo si el grupo es nilpotente .
Serie funcional
Algunas series de subgrupos se definen funcionalmente , en términos de subgrupos como el centro y operaciones como el conmutador. Éstas incluyen:
- Serie central inferior
- Serie central superior
- Serie derivada
- Serie de accesorios inferiores
- Serie de accesorios superiores
p -serie
Hay series que provienen de subgrupos de orden de potencia principal o índice de potencia principal, relacionados con ideas como los subgrupos de Sylow .
- Inferiores p -series
- Superiores p -series
Referencias
- ^ Ol'shanskii, A. Yu. (1979). "Grupos infinitos con subgrupos cíclicos". Matemáticas soviéticas. Dokl . 20 : 343–346.(Traducción al inglés de Dokl. Akad. Nauk SSSR , 245 , 785–787)
- ^ Sharipov, RA (2009). "Serie de grupos normal transfinita y composición". arXiv : 0908.2257 [ math.GR ].