En geometría , el mosaico rhombille , [1] también conocido como bloques giratorios , [2] cubos reversibles , o la celosía de dados , es una teselación de rombos idénticos de 60 ° en el plano euclidiano . Cada rombo tiene dos ángulos de 60 ° y dos de 120 ° ; Los rombos con esta forma a veces también se llaman diamantes . Los conjuntos de tres rombos se encuentran en sus ángulos de 120 ° y los conjuntos de seis rombos se encuentran en sus ángulos de 60 °.
Azulejos Rhombille | |
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Tipo | Azulejos Laves |
Caras | 60 ° –120 ° rombo |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | p6m, [6,3], * 632 p3m1, [3 [3] ], * 333 |
Grupo de rotacion | p6, [6,3] + , (632) p3, [3 [3] ] + , (333) |
Poliedro doble | Azulejos trihexagonales |
Configuración de la cara | V3.6.3.6 |
Propiedades | borde-transitivo , cara transitivo |
Propiedades
El mosaico de rombos se puede ver como una subdivisión de un mosaico hexagonal con cada hexágono dividido en tres rombos que se encuentran en el punto central del hexágono. Esta subdivisión representa un mosaico compuesto regular . También se puede ver como una subdivisión de cuatro mosaicos hexagonales con cada hexágono dividido en 12 rombos.
Las diagonales de cada rombo están en la proporción 1: √ 3 . Este es el doble suelo de baldosas del suelo de baldosas trihexagonal o kagome celosía . Como mosaico dual a uniforme , es uno de los once posibles mosaicos de Laves , y en la configuración de cara para mosaicos monoédricos se indica [3.6.3.6]. [4]
También es una de las 56 teselaciones isoédricas posibles por cuadriláteros, [5] y una de las ocho teselaciones del plano en las que cada borde se encuentra en una línea de simetría de la baldosa. [6]
Es posible incrustar el mosaico rhombille en un subconjunto de una celosía entera tridimensional , que consta de los puntos ( x , y , z ) con | x + y + z | ≤ 1, de tal manera que dos vértices son adyacentes si y solo si los puntos de celosía correspondientes están a una distancia unitaria entre sí, y más fuertemente de manera que el número de bordes en el camino más corto entre dos vértices cualesquiera del mosaico es el igual que la distancia de Manhattan entre los puntos de celosía correspondientes. Por lo tanto, el mosaico rhombille puede verse como un ejemplo de un gráfico de distancia unitaria infinita y un cubo parcial . [7]
Aplicaciones artísticas y decorativas
El mosaico de rombos se puede interpretar como una vista de proyección isométrica de un conjunto de cubos de dos formas diferentes, formando una figura reversible relacionada con el Cubo de Necker . En este contexto se conoce como la ilusión de los "cubos reversibles". [8]
En las obras de arte de MC Escher, Metamorfosis I , Metamorfosis II y Metamorfosis III, Escher utiliza esta interpretación del mosaico como una forma de transformarse entre formas bidimensionales y tridimensionales. [9] En otra de sus obras, Ciclo (1938), Escher jugó con la tensión entre la bidimensionalidad y la tridimensionalidad de este mosaico: en él dibuja un edificio que tiene tanto grandes bloques cúbicos como elementos arquitectónicos (dibujados isométricamente ) y un patio en el piso de arriba embaldosado con baldosas rhombille. Una figura humana desciende del patio pasando los cubos, volviéndose más estilizada y bidimensional a medida que lo hace. [10] Estas obras involucran solo una interpretación tridimensional del mosaico, pero en Convex and Concave Escher experimenta con figuras reversibles de manera más general, e incluye una representación de la ilusión de cubos reversibles en una bandera dentro de la escena. [11]
El alicatado de rombos también se utiliza como diseño para parquet [12] y para alicatado de suelos o paredes, a veces con variaciones en las formas de sus rombos. [13] Aparece en los mosaicos de suelo de la antigua Grecia de Delos [14] y en los azulejos de suelo italianos del siglo XI, [15] aunque los azulejos con este patrón en la catedral de Siena son de una vendimia más reciente. [16] En acolchado , se conoce desde la década de 1850 como el patrón de "bloques que caen", refiriéndose a la disonancia visual causada por su interpretación tridimensional duplicada. [2] [15] [17] Como patrón de acolchado, también tiene muchos otros nombres, como el trabajo en cubos, las escaleras celestiales y la caja de Pandora. [17] Se ha sugerido que el patrón de colcha de bloques rodantes se usó como señal en el ferrocarril subterráneo : cuando los esclavos lo vieran colgado de una cerca, debían guardar sus pertenencias y escapar. Consulte Edredones del ferrocarril subterráneo . [18] En estas aplicaciones decorativas, los rombos pueden aparecer en varios colores, pero normalmente se les dan tres niveles de sombreado, el más brillante para los rombos con diagonales largas horizontales y más oscuro para los rombos con las otras dos orientaciones, para mejorar su apariencia de tres. -dimensionalidad. Hay un solo ejemplo conocido de mosaico implícito de rhombille y trihexagonal en la heráldica inglesa : en los brazos Geal / e. [19]
Otras aplicaciones
El mosaico de rombos puede verse como el resultado de la superposición de dos mosaicos hexagonales diferentes, trasladados de modo que algunos de los vértices de un mosaico aterrizan en los centros de los hexágonos del otro mosaico. Por tanto, se puede utilizar para definir autómatas celulares de bloques en los que las celdas del autómata son los rombos de un mosaico rhombille y los bloques en pasos alternos del autómata son los hexágonos de los dos mosaicos hexagonales superpuestos. En este contexto, se llama el "barrio Q * bert", en honor al videojuego Q * bert, que presentaba una vista isométrica de una pirámide de cubos como campo de juego. La vecindad Q * bert se puede utilizar para admitir el cálculo universal a través de una simulación de computadoras de bolas de billar . [20]
En la física de la materia condensada , el mosaico rhombille se conoce como celosía de dados , celosía en cubitos o celosía de kagome dual . Es una de varias estructuras repetidas utilizadas para investigar los modelos de Ising y los sistemas relacionados de interacciones de espín en cristales diatómicos , [21] y también se ha estudiado en la teoría de la percolación . [22]
Poliedros y teselados relacionados
El mosaico rhombille es el dual del mosaico trihexagonal . Es una de las muchas formas diferentes de teselar el plano mediante rombos congruentes. Otros incluyen una variación diagonalmente aplanada del mosaico cuadrado (con simetría de traslación en los cuatro lados del rombi), el mosaico utilizado por el patrón de plegado Miura-ori (alternando entre simetría de traslación y reflexión), y el mosaico de Penrose que usa dos tipos de rombos con ángulos agudos de 36 ° y 72 ° de forma aperiódica . Cuando se permite más de un tipo de rombo, son posibles mosaicos adicionales, incluidos algunos que son topológicamente equivalentes al mosaico de rhombille pero con menor simetría.
Los mosaicos combinatoriamente equivalentes al mosaico rhombille también se pueden realizar mediante paralelogramos e interpretar como proyecciones axonométricas de pasos cúbicos tridimensionales.
Solo hay ocho mosaicos de bordes , mosaicos del plano con la propiedad de que al reflejar cualquier mosaico en cualquiera de sus bordes se produce otro mosaico; uno de ellos es el mosaico rhombille. [23]
Ver también
- Mosaico por polígonos regulares
Referencias
- ^ Conway, John ; Burgiel, Heidi; Goodman-Strass, Chaim (2008), "Capítulo 21: Nombrar poliedros y teselaciones de Arquímedes y Cataluña", Las simetrías de las cosas , AK Peters, p. 288, ISBN 978-1-56881-220-5.
- ^ a b Smith, Barbara (2002), Tumbling Blocks: New Quilts from an Old Favourite , Collector Books, ISBN 9781574327892.
- ^ Richard K. Guy y Robert E. Woodrow, El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la Conferencia conmemorativa de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia , 1996, p.79, Figura 10
- ^ Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987), Tilings and Patterns , Nueva York: WH Freeman, ISBN 0-7167-1193-1. Sección 2.7, Mosaicos con vértices regulares, págs. 95–98.
- ^ Grünbaum y Shephard (1987) , la Figura 9.1.2, Forros P 4 -42, p. 477.
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- ^ Warren, Howard Crosby (1919), Psicología humana , Houghton Mifflin, p. 262.
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- ^ Escher, Maurits Cornelis (2001), MC Escher, la obra gráfica , Taschen , págs. 29-30, ISBN 9783822858646.
- ^ De May, Jos (2003), "Painting after MC Escher", en Schattschneider, D .; Emmer, M. (eds.), MC Escher's Legacy: A Centennial Celebration , Springer, págs. 130-141.
- ^ Schleining, Lon; O'Rourke, Randy (2003), "Engañando a los ojos con bloques que caen", Cofres del tesoro: El legado de cajas extraordinarias , Taunton Press, p. 58, ISBN 9781561586516.
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- ^ a b Fowler, Earlene (2008), Tumbling Blocks , Misterios de Benni Harper, Penguin, ISBN 9780425221235. Esta es una novela de misterio, pero también incluye una breve descripción del patrón de colcha de bloques que caen en su portada.
- ^ Tobin, Jacqueline L .; Dobard, Raymond G. (2000), Oculto a simple vista: una historia secreta de edredones y el ferrocarril subterráneo , Random House Digital, Inc., p. 81 , ISBN 9780385497671.
- ↑ Aux armes: simbolismo , simbolismo en armas, Pléyade, consultado el 17 de abril de 2013.
- ^ El barrio de Q * Bert , Tim Tyler, consultado el 23 de mayo de 2012.
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- ^ Kirby, Matthew; Umble, Ronald (2011), "Teselaciones de bordes y rompecabezas plegables de sellos", Mathematics Magazine , 84 (4): 283–289, arXiv : 0908.3257 , doi : 10.4169 / math.mag.84.4.283 , MR 2843659.
Otras lecturas
- Keith Critchlow, Order in Space: A design source book , 1970, págs. 77–76, patrón 1