En matemáticas, una lemniscata polinomial o una curva de nivel polinomial es una curva algebraica plana de grado 2n, construida a partir de un polinomio p con coeficientes complejos de grado n .
Para cualquier polinomio p y un número real positivo c , podemos definir un conjunto de números complejos porEste conjunto de números puede equipararse a puntos en el plano cartesiano real, lo que conduce a una curva algebraica ƒ ( x , y ) = c 2 de grado 2 n , que resulta de expandirseen términos de z = x + iy .
Cuando p es un polinomio de grado 1, la curva resultante es simplemente un círculo cuyo centro es el cero de p . Cuando p es un polinomio de grado 2, entonces la curva es un óvalo de Cassini .
Lemniscata de Erd
Una conjetura de Erdős que ha atraído un interés considerable se refiere a la longitud máxima de una lemniscata polinomial ƒ ( x , y ) = 1 de grado 2 n cuando p es mónica , que Erdős conjeturó que se alcanzó cuando p ( z ) = z n - 1. Esto todavía no está probado, pero Fryntov y Nazarov demostraron que p da un máximo local. [1] En el caso de n = 2, la lemniscata de Erdős es la lemniscata de Bernoulli
y se ha demostrado que esta es de hecho la longitud máxima en grado cuatro. La lemniscata de Erdős tiene tres puntos ordinarios de n pliegues, uno de los cuales está en el origen, y un género de ( n - 1) ( n - 2) / 2. Al invertir la lemniscata de Erd en el círculo unitario, se obtiene una curva no singular de grado n .
Lemniscata polinomial genérica
En general, una lemniscata polinomial no se tocará en el origen y solo tendrá dos singularidades ordinarias de n pliegues y, por lo tanto, un género de ( n - 1) 2 . Como curva real, puede tener varios componentes desconectados. Por lo tanto, no se verá como una lemniscata , lo que hará que el nombre sea algo inapropiado.
Un ejemplo interesante de tales lemniscates polinomiales son las curvas de Mandelbrot. Si establecemos p 0 = z , y p n = p n −1 2 + z , entonces el polinomio correspondiente lemnisca M n definido por | p n ( z ) | = 2 convergen al límite del conjunto de Mandelbrot . Las curvas de Mandelbrot son de grado 2 n + 1 . [2]
Notas
- ^ Fryntov, A; Nazarov, F (2008). "Nuevas estimaciones para la longitud de la lemniscata de Erdos-Herzog-Piranian". Análisis lineal y complejo . 226 : 49–60. arXiv : 0808.0717 . Código bibliográfico : 2008arXiv0808.0717F .
- ^ Ivancevic, Vladimir G .; Ivancevic, Tijana T. (2007), Sistemas caóticos y de atracción de alta dimensión: una introducción completa , Springer, p. 492, ISBN 9781402054563.
Referencias
- Alexandre Eremenko y Walter Hayman , Sobre la longitud de los lemniscates , Michigan Math. J., (1999), 46 , no. 2, 409–415 [1]
- OS Kusnetzova y VG Tkachev, Funciones de longitud de lemniscates , Manuscripta Math., (2003), 112 , 519–538 [2]