Anillo de polinomio

En matemáticas , especialmente en el campo del álgebra , un anillo de polinomios o álgebra de polinomios es un anillo (que también es un álgebra conmutativa ) formado a partir del conjunto de polinomios en uno o más indeterminados (tradicionalmente también llamados variables ) con coeficientes en otro anillo , a menudo un campo .

A menudo, el término "anillo de polinomio" se refiere implícitamente al caso especial de un anillo de polinomio en un indeterminado sobre un campo. La importancia de tales anillos de polinomios radica en la gran cantidad de propiedades que tienen en común con el anillo de los números enteros .

Los anillos de polinomios ocurren ya menudo son fundamentales en muchas partes de las matemáticas, como la teoría de números , el álgebra conmutativa y la geometría algebraica . En la teoría de anillos, se han introducido muchas clases de anillos, como dominios de factorización únicos , anillos regulares, anillos de grupo , anillos de series de potencias formales , polinomios de Ore , anillos graduados , para generalizar algunas propiedades de los anillos de polinomios.

Una noción estrechamente relacionada es la del anillo de funciones polinómicas en un espacio vectorial y, más generalmente, el anillo de funciones regulares en una variedad algebraica .

El anillo polinomial , $K [X]$ , en $X$ sobre un campo (o, más generalmente, un anillo conmutativo ) $K$ puede definirse de varias formas equivalentes. Una de ellas es definir $K [X]$ como el conjunto de expresiones, llamadas polinomios en $X$ , de la forma ^[1]

donde $p 0, p 1, \dots, p m$ , los coeficientes de $p$ , son elementos de $K$ , $p m \neq 0$ si $m > 0$ , y $X, X 2, \dots,$ son símbolos, que se consideran como "potencias" de $X$ , y siga las reglas usuales de exponenciación : $X 0 = 1$ , $X 1 = X$ , y para cualquier número entero no negativo $k$ y $l$ ${\ estilo de visualización X^{k}\,X^{l}=X^{k+l}}$ . El símbolo $X$ se llama indeterminado ^[2] o variable. ^[3] (El término de "variable" proviene de la terminología de funciones polinómicas . Sin embargo, aquí, $X$ no tiene ningún valor (aparte de sí mismo), y no puede variar, siendo una constante en el anillo polinomial.)