En geometría , el porismo de Poncelet , a veces denominado teorema de cierre de Poncelet , establece que siempre que un polígono está inscrito en una sección cónica y circunscribe otra, el polígono debe ser parte de una familia infinita de polígonos que están inscritos y circunscriben el mismo. dos cónicas. [1] [2] Lleva el nombre del ingeniero y matemático francés Jean-Victor Poncelet , quien escribió sobre él en 1822; sin embargo, el caso triangular fue descubierto significativamente antes, en 1746 por William Chapple . [3]
El porismo de Ponughters puede probarse mediante un argumento que utiliza una curva elíptica , cuyos puntos representan una combinación de una línea tangente a una cónica y un punto de cruce de esa línea con la otra cónica.
Declaración
Sean C y D dos cónicas planas . Si es posible encontrar, para un n > 2 dado , un polígono de n lados que está inscrito simultáneamente en C (lo que significa que todos sus vértices se encuentran en C ) y circunscrito alrededor de D (lo que significa que todos sus bordes son tangentes a D ), entonces es posible encontrar infinitos de ellos. Cada punto de C o D es un vértice o tangencia (respectivamente) de uno de esos polígonos.
Si las cónicas son círculos , los polígonos que están inscritos en un círculo y circunscritos alrededor del otro se denominan polígonos bicéntricos , por lo que este caso especial del porismo de Pon polígonos con respecto a los mismos dos círculos. [4] : pág. 94
Boceto de prueba
Vea C y D como curvas en el plano proyectivo complejo P 2 . Para simplificar, suponga que C y D se encuentran transversalmente (lo que significa que cada punto de intersección de los dos es un simple cruce). Luego, según el teorema de Bézout , la intersección C ∩ D de las dos curvas consta de cuatro puntos complejos. Para un punto arbitrario d en D , sea ℓ d la recta tangente a D en d . Sea X la subvariedad de C × D que consta de ( c , d ) tal que ℓ d pasa por c . Dado c , el número de d con ( c , d ) ∈ X es 1 si c ∈ C ∩ D y 2 en caso contrario. Por lo tanto, la proyección X → C ≃ P 1 presenta X como una cobertura de grado 2 ramificada por encima de 4 puntos, por lo que X es una curva elíptica (una vez que fijamos un punto base en X ). Dejarserá la involución de X enviando un general ( c , d ) al otro punto ( c , d ′) con la misma primera coordenada. Cualquier involución de una curva elíptica con un punto fijo, cuando se expresa en la ley de grupo, tiene la forma x → p - x para algún p , entoncestiene esta forma. De manera similar, la proyección X → D es un morfismo de grado 2 ramificado sobre los puntos de contacto en D de las cuatro líneas tangentes a C y D , y la involución correspondientetiene la forma x → q - x para algunos q . Así la composiciónes una traducción de X . Si un poder detiene un punto fijo, ese poder debe ser la identidad. Traducido de nuevo al lenguaje de C y D , esto significa que si un punto c ∈ C (equipado con una d correspondiente ) da lugar a una órbita que se cierra (es decir, da un n -gon), entonces también lo hace cada punto. Los casos degenerados en los que C y D no son transversales se siguen de un argumento límite.
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Porismo de Poncelet". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html
- ^ Rey, Jonathan L. (1994). "Tres problemas en busca de una medida" . Amer. Matemáticas. Mensual . 101 : 609–628. doi : 10.2307 / 2974690 .
- ^ Del Centina, Andrea (2016), "El porismo de Poncelet: una larga historia de descubrimientos renovados, I", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 70 (1): 1–122, doi : 10.1007 / s00407-015-0163-y , Señor 3437893
- ^ Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Publicaciones de Dover, 2007 (orig. 1960).
- Bos, HJM ; Kers, C .; Oort, F .; Cuervo, DW "Teorema de cierre de Poncelet". Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289–364.
enlaces externos
- David Speyer sobre el porismo de Pon
- D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Treinta conferencias sobre matemáticas clásicas
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra los casos n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (incluidos los casos convexos para n = 7, 8) realizado con GeoGebra .
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porísmo de Poncelet para una elipse general y una parábola realizada con GeoGebra .
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porismo de Poncelet para 2 elipses generales (orden 3) realizado con GeoGebra .
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porismo de Poncelet para 2 elipses generales (orden 5) realizado con GeoGebra .
- Applet interactivo de Michael Borcherds que muestra el porísmo de Poncelet para 2 elipses generales (orden 6) realizado con GeoGebra .
- Applet de Java que muestra el caso exterior para n = 3 en la Universidad Nacional Tsing Hua.
- Artículo sobre el porismo de Poncelet en Mathworld.