Teorema del cierre de Pon
En geometría , el porismo de Pon _ _ _ _ _ _ _ _ _ dos cónicas. [1] [2] Lleva el nombre del ingeniero y matemático francés Jean-Victor Poncelet , quien escribió sobre él en 1822; sin embargo, el caso triangular fue descubierto significativamente antes, en 1746 por William Chapple . [3]
El porismo de Pon
Sean C y D dos cónicas planas . Si es posible encontrar, para un n > 2 dado, un polígono de n lados que está inscrito simultáneamente en C (lo que significa que todos sus vértices se encuentran en C ) y circunscrito alrededor de D (lo que significa que todos sus bordes son tangentes a D ), entonces es posible encontrar infinitos de ellos. Cada punto de C o D es un vértice o tangencia (respectivamente) de uno de esos polígonos.
Si las cónicas son círculos , los polígonos que están inscritos en un círculo y circunscritos alrededor del otro se denominan polígonos bicéntricos , por lo que este caso especial del porismo de Pon polígonos con respecto a los mismos dos círculos. [4] : pág. 94
Vea C y D como curvas en el plano proyectivo complejo P 2 . Para simplificar, suponga que C y D se encuentran transversalmente (lo que significa que cada punto de intersección de los dos es un simple cruce). Entonces, según el teorema de Bézout , la intersección C ∩ D de las dos curvas consta de cuatro puntos complejos. Para un punto arbitrario d en D , sea ℓ d la recta tangente a D en d . Sea X la subvariedad de C × Dque consiste en ( c , d ) tal que ℓ d pasa por c . Dado c , el número de d con ( c , d ) ∈ X es 1 si c ∈ C ∩ D y 2 en caso contrario. Por lo tanto, la proyección X → C ≃ P 1 presenta X como una cobertura de grado 2 ramificada por encima de 4 puntos, por lo que X es una curva elíptica (una vez que fijamos un punto base en X ). Sea la involución de Xenviando un general ( c , d ) al otro punto ( c , d ′) con la misma primera coordenada. Cualquier involución de una curva elíptica con un punto fijo, cuando se expresa en la ley de grupo, tiene la forma x → p - x para algún p , por lo que tiene esta forma. De manera similar, la proyección X → D es un morfismo de grado 2 ramificado sobre los puntos de contacto en D de las cuatro líneas tangentes tanto a C como a D , y la involución correspondiente tiene la forma x → q -x para algunos q . Por tanto, la composición es una traducción de X. Si un poder de tiene un punto fijo, ese poder debe ser la identidad. Traducido de nuevo al lenguaje de C y D , esto significa que si un punto c ∈ C (equipado con una d correspondiente ) da lugar a una órbita que se cierra (es decir, da un n -gon), entonces también lo hace cada punto. Los casos degenerados en los que C y D no son transversales se siguen de un argumento límite.
