Un porismo es una proposición o corolario matemático . En particular, el término porismo se ha utilizado para referirse a una consecuencia directa de una demostración, análoga a cómo un corolario se refiere a una consecuencia directa de un teorema . En el uso moderno, un porismo es una relación que se cumple para un rango infinito de valores, pero solo si se asume una determinada condición, por ejemplo, el porismo de Steiner . [1] El término tiene su origen en tres libros de Euclides con porismo, que se han perdido. Tenga en cuenta que una proposición puede no haber sido probada, por lo que un porismo puede no ser un teorema o, en realidad, puede que no sea cierto.
Orígenes
El tratado que ha dado lugar a este tema es el Porísmo de Euclides , autor de los Elementos . Todo lo que se sabe de este tratado perdido se debe a la Colección de Pappus de Alejandría , quien lo menciona junto con otros tratados geométricos, y da varios lemas necesarios para comprenderlo. [2] Pappus afirma:
- Los porismos de todas las clases no son teoremas ni problemas, sino que ocupan una posición intermedia entre los dos, de modo que sus enunciados pueden enunciarse como teoremas o problemas, y en consecuencia algunos geómetras piensan que son teoremas y otros que son problemas. guiarse únicamente por la forma de la enunciación. Pero de las definiciones se desprende claramente que los antiguos geómetras entendían mejor la diferencia entre las tres clases. Los geómetras más antiguos consideraban un teorema dirigido a probar lo propuesto, un problema dirigido a construir lo propuesto y finalmente un porismo dirigido a encontrar lo propuesto ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου ). [2]
Pappus continúa diciendo que esta última definición fue cambiada por ciertos geómetras posteriores, quienes definieron un porismo sobre la base de una característica accidental como " τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος " ( a leîpon hypothései topikoû theōrḗmatos ), lo que se queda corto de un locus. -teorema por una (o en su) hipótesis. Proclus señala que la palabra porismo se usó en dos sentidos. Un sentido es el de "corolario", como resultado no buscado, por así decirlo, pero visto como consecuencia de un teorema. Sobre el porismo en el otro sentido, no añade nada a la definición de "los geómetras más antiguos" excepto decir que el hallazgo del centro de un círculo y el hallazgo de la mayor medida común son porismos. [3] [2]
Pappus sobre el porismo de Euclides
Pappus renunció por completo a un porismo derivado de Euclides y lo extendió a un caso más general. Este porismo, expresado en lenguaje moderno, afirma lo siguiente: Dadas cuatro líneas rectas de las cuales tres giran alrededor de los puntos en que se encuentran con la cuarta, si dos de los puntos de intersección de estas líneas se encuentran cada uno en una línea recta fija, el punto restante de intersección también estará en otra línea recta. La enunciación general se aplica a cualquier número de líneas rectas, digamos n + 1, de las cuales n pueden girar tantos puntos fijos en el ( n + 1) ésimo. Estas n líneas rectas cortan, dos y dos, en 1/2 n ( n - 1) puntos, siendo 1/2 n ( n - 1) un número triangular cuyo lado es n - 1. Si, entonces, están hechas para gire alrededor de los n puntos fijos de modo que cualquier n - 1 de sus 1/2 n ( n - 1) puntos de intersección, elegidos sujeto a una cierta limitación, se encuentren en n - 1 dadas líneas rectas fijas, luego cada uno de los puntos restantes de intersección, 1/2 n ( n - 1) ( n - 2) en número, describe una línea recta. Pappus da también una enunciación completa de un porismo del primer libro del tratado de Euclides. [2]
Esto se puede expresar así: Si alrededor de dos puntos fijos P, Q hacemos el giro de dos rectas que se encuentran en una recta L dada, y si una de ellas corta un segmento AM de una recta fija AX, dada en posición, podemos determinar otra línea recta fija BY, y un punto B fijo en ella, de modo que el segmento BM 'formado por la segunda línea móvil en esta segunda línea fija medida desde B tiene una relación X dada al primer segmento AM. El resto de las enunciaciones dadas por Pappus están incompletas, y él simplemente dice que da treinta y ocho lemas para los tres libros de porismos, y estos incluyen 171 teoremas. Los lemas que da Pappus en relación con los porismos son históricamente interesantes porque da:
- el teorema fundamental de que la relación cruzada o anarmonica de un lápiz de cuatro líneas rectas que se encuentran en un punto es constante para todas las transversales;
- la prueba de las propiedades armónicas de un cuadrilátero completo;
- el teorema de que, si los seis vértices de un hexágono se encuentran tres y tres en dos líneas rectas, los tres puntos de la explanada de lados opuestos se encuentran en una línea recta. [2]
Desde los siglos XVII al XIX este tema parece haber tenido una gran fascinación para los matemáticos, y muchos geómetras han intentado restaurar los porismos perdidos. Así, Albert Girard dice en su Traité de trigonometrie (1626) que espera publicar una restauración. Por la misma época, Pierre de Fermat escribió una obra corta con el título Porismatum euclidaeorum renovata doctrina et sub forma isagoges recentioribus geometeis exhibita (véase Œuvres de Fermat , i., París, 1891); pero al menos dos de los cinco ejemplos de porismos que da no caen dentro de las clases indicadas por Pappus. [4]
Análisis posterior
Robert Simson fue el primero en arrojar luz real sobre el tema. Primero logró explicar las únicas tres proposiciones que Pappus indica con alguna completitud. Esta explicación fue publicada en Philosophical Transactions en 1723. Posteriormente investigó el tema de los porismos en general en una obra titulada De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor , y publicado tras su muerte en un volumen, Roberti Simson opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776). [4]
El tratado de Simson, De porismatibus , comienza con definiciones de teorema, problema, dato, porismo y locus. Respetando el porismo, Simson dice que la definición de Pappus es demasiado general, por lo que la sustituirá por la siguiente:
"Porisma est propositio in qua proponitur demonstrare rem aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut et cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt eandem habent rationem, convenire ostendendum est conditionem quandam communem in propositione descriptam. Porisma etiam in forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus data demostranda sunt, invenienda proponantur. "
Un locus (dice Simson) es una especie de porismo. Luego sigue una traducción latina de la nota de Pappus sobre los porismos y las proposiciones que forman la mayor parte del tratado. Estos son los treinta y ocho lemas de Pappus relacionados con los porismos, diez casos de la proposición sobre cuatro líneas rectas, veintinueve porismos, dos problemas de ilustración y algunos lemas preliminares. [4]
Las memorias de John Playfair ( Trad. Roy. Soc. Edin. , 1794, vol. Iii.), Una especie de secuela del tratado de Simson, tenía por objeto especial la indagación sobre el origen probable de los porismos, es decir, sobre el origen de los porismos. pasos que llevaron a los antiguos geómetras a descubrirlos. Playfair comentó que la investigación cuidadosa de todos los posibles casos particulares de una proposición mostraría que (1) bajo ciertas condiciones, un problema se vuelve imposible; (2) bajo ciertas otras condiciones, indeterminadas o capaces de un número infinito de soluciones. Estos casos podían enunciarse separadamente, eran de una manera intermedia entre teoremas y problemas, y se llamaban "porismos". En consecuencia, Playfair definió un porismo así: "Una proposición que afirma la posibilidad de encontrar condiciones que hagan indeterminado un determinado problema o capaz de innumerables soluciones". [4]
Aunque esta definición de porismo parece ser la más favorecida en Inglaterra, la visión de Simson ha sido más aceptada en el extranjero y contó con el apoyo de Michel Chasles . Sin embargo, en el Journal de mathiques pures et appliquées de Liouville (vol. Xx., Julio de 1855), P. Breton publicó Recherches nouvelles sur les porismes d'Euclide , en el que dio una nueva traducción del texto de Pappus, y trató de basar en él una visión de la naturaleza de un porismo que se ajustaba más estrechamente a las definiciones de Pappus. A esto le siguió en la misma revista y en La Science una polémica entre Breton y AJH Vincent , quien cuestionó la interpretación dada por el primero del texto de Pappus, y se declaró a favor de la idea de Schooten, planteada en su Mathematicae exercitationes (1657), en el que da el nombre de "porismo" a una sección. Según Frans van Schooten , si las diversas relaciones entre las líneas rectas en una figura se escriben en forma de ecuaciones o proporciones, entonces la combinación de estas ecuaciones en todas las formas posibles y de nuevas ecuaciones derivadas de ellas conduce al descubrimiento de innumerables nuevas propiedades de la figura, y aquí tenemos "porismos". [4]
Sin embargo, las discusiones entre Breton y Vincent, a las que también se sumó C. Housel , no llevaron adelante el trabajo de restaurar los porismos de Euclides, que se dejó a Chasles. Su obra ( Les Trois livres de porismes d'Euclide , París, 1860) aprovecha al máximo todo el material encontrado en Pappus. Pero podemos dudar de que sea una reproducción exitosa del trabajo real de Euclides. Así, en vista de la relación auxiliar en la que generalmente se encuentran los lemas de Pappus con las obras a las que se refieren, parece increíble que los primeros siete de los treinta y ocho lemas sean realmente equivalentes (como los hace Chasles) a los primeros siete Porismos de Euclides. . Nuevamente, Chasles parece haberse equivocado al hacer que los diez casos del porísmo de cuatro líneas comiencen el libro, en lugar del porísmo de intercepción enunciado completamente por Pappus, con el que el "lema del primer porísmo" se relaciona inteligiblemente, siendo un particular caso de ello. [4]
HG Zeuthen ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, cap. Viii.) Presentó una hipótesis interesante sobre los porismos . Observando, por ejemplo, que el porismo de intersección sigue siendo cierto si los dos puntos fijos son puntos en una cónica, y las líneas rectas trazadas a través de ellos se cruzan en la cónica en lugar de en una línea recta fija, Zeuthen conjetura que los porismos eran por -producto de una geometría proyectiva de cónicas completamente desarrollada. Es un hecho que el Lema 31 (aunque no menciona una cónica) corresponde exactamente al método de Apolonio para determinar los focos de una cónica central (Conics, iii. 4547 con 42). Los tres porismos enunciados por Diofanto en su Arithmetica son proposiciones en la teoría de los números que pueden enunciarse en la forma "podemos encontrar números que satisfagan tales y tales condiciones"; son, por tanto, suficientemente análogos al porismo geométrico definido en Pappus y Proclo . [4]
Ver también
Notas
Referencias
- Alexander Jones (1986) Libro 7 de la colección , parte 1: introducción, texto, traducción ISBN 0-387-96257-3 , parte 2: comentario, índice, cifras ISBN 3-540-96257-3 , Springer-Verlag .
- JL Heiberg 's Litterargeschichtliche Studien über Euklid (Leipzig, 1882) Un capítulo valiosa sobre porismas (de una filológico punto de vista) está incluido.
- August Richter. Porismen nach Simson bearbeitet (Elbing, 1837)
- M. Cantor , "Über die Porismen des Euklid y deren Divinatoren", en el Zeitsch de Schlomilch. F. Matemáticas. u. Phy. (1857) y Literaturzeitung (1861), pág. 3 segundos
- Th. Leidenfrost , Die Porismen des Euklid ( Programm der Realschule zu Weimar , 1863)
- John J. Milne (1911) Un tratado elemental sobre geometría de relación cruzada con notas históricas , página 115, Cambridge University Press .
- P. Buch-binder , Euclids Porismen und Data ( Programm der kgl. Landesschule Pforta , 1866).
Atribución:
- Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público : Heath, Thomas Little (1911). " Porismo ". En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . 24 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 102-103.