espacio de thom

En matemáticas , el espacio de Thom, el complejo de Thom o la construcción Pontryagin-Thom (llamada así por René Thom y Lev Pontryagin ) de topología algebraica y topología diferencial es un espacio topológico asociado a un paquete vectorial , sobre cualquier espacio paracompacto .

sea un paquete vectorial real de rango n sobre el espacio paracompacto B . Entonces, para cada punto b en B , la fibra es un espacio vectorial real bidimensional . Elija una estructura ortogonal en E, un producto interno que varía suavemente en las fibras; podemos hacer esto usando particiones de unidad. Sea el paquete de bolas unitarias con respecto a nuestra estructura ortogonal, y sea el paquete de esferas unitaria, entonces el espacio de Thom es el cociente de espacios topológicos. es un espacio puntiagudo con la imagen de en el cociente como punto base. si b ${\ estilo de visualización E_ {b}}$ ${\ estilo de visualización n}$ ${\ estilo de visualización D (E)}$ ${\ estilo de visualización S (E)}$ ${\ estilo de visualización T (E)}$ $T(E):=D(E)/S(E)$ ${\ estilo de visualización T (E)}$ ${\ estilo de visualización S (E)}$ es compacta, entonces es la compactación en un punto de E . ${\ estilo de visualización T (E)}$

Por ejemplo, si E es el paquete trivial , entonces y . Escribir para B con un punto base disjunto es el producto de y ; es decir, la n -ésima suspensión reducida de . $B\veces \mathbb {R} ^{n}$ $D(E)=B\veces D^{n}$ $S(E)=B\veces S^{n-1}$ ${\ estilo de visualización B_ {+}}$ ${\ estilo de visualización T (E)}$ ${\ estilo de visualización B_ {+}}$ ${\ estilo de visualización S^{n}}$ ${\ estilo de visualización B_ {+}}$

La importancia de esta construcción comienza con el siguiente resultado, que pertenece al tema de cohomología de haces de fibras . (Hemos indicado el resultado en términos de coeficientes para evitar complicaciones derivadas de la orientabilidad ; consulte también Orientación de un espacio de paquete vectorial #Thom ). ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {2}}$

Sea un paquete vectorial real de rango n . Luego hay un isomorfismo, ahora llamado isomorfismo de Thom ${\ estilo de visualización p: E \ a B}$