En matemáticas , una función armónica positiva en el disco unitario en los números complejos se caracteriza como la integral de Poisson de una medida positiva finita en el círculo. Este resultado, el teorema de representación de Herglotz-Riesz , fue probado independientemente por Gustav Herglotz y Frigyes Riesz en 1911. Puede usarse para dar una fórmula y caracterización relacionadas para cualquier función holomórfica en el disco unitario con parte real positiva. Estas funciones ya habían sido caracterizadas en 1907 por Constantin Carathéodory en términos de ladefinición positiva de sus coeficientes de Taylor .
Una función positiva f en el disco unitario con f (0) = 1 es armónica si y solo si hay una medida de probabilidad μ en el círculo unitario tal que
Por un argumento de compacidad (o de manera equivalente en este caso el teorema de selección de Helly para integrales de Stieltjes ), una subsecuencia de estas medidas de probabilidad tiene un límite débil que también es una medida de probabilidad μ.
Una función holomórfica f en el disco unitario con f (0) = 1 tiene una parte real positiva si y solo si hay una medida de probabilidad μ en el círculo unitario tal que
ser una función holomórfica en el disco unitario. Entonces f ( z ) tiene una parte real positiva en el disco si y solo si