En matemáticas , el teorema de selección de Helly (también llamado principio de selección de Helly ) establece que una secuencia uniformemente acotada de funciones reales monótonas admite una subsecuencia convergente . En otras palabras, es un teorema de compacidad secuencial para el espacio de funciones monótonas acotadas uniformemente. Lleva el nombre del matemático austriaco Eduard Helly . Una versión más general del teorema afirma la compacidad del espacio BV loc de funciones localmente de variación total acotada que están uniformemente acotadas en un punto.
El teorema tiene aplicaciones en todo el análisis matemático . En la teoría de la probabilidad , el resultado implica la compacidad de una estrecha familia de medidas .
Sea ( f n ) n ∈ N una secuencia de funciones crecientes que mapean la línea real R en sí misma, y suponga que está uniformemente acotada: hay a, b ∈ R tales que a ≤ f n ≤ b para cada n ∈ N . Entonces la secuencia ( f n ) n ∈ N admite una subsecuencia convergente puntual.
Sea U un subconjunto abierto de la línea real y sea f n : U → R , n ∈ N , una secuencia de funciones. Suponer que
Entonces existe una subsecuencia f n k , k ∈ N , de f n y una función f : U → R , localmente de variación acotada , tal que
Hay muchas generalizaciones y refinamientos del teorema de Helly. El siguiente teorema, para funciones BV que toman valores en espacios de Banach , se debe a Barbu y Precupanu: