En electrodinámica , el teorema de Poynting es una declaración de conservación de energía para el campo electromagnético , [ aclaración necesaria ] , en forma de una ecuación diferencial parcial desarrollada por el físico británico John Henry Poynting . [1] El teorema de Poynting es análogo al teorema trabajo-energía en la mecánica clásica , y matemáticamente similar a la ecuación de continuidad , porque relaciona la energía almacenada en el campo electromagnético con el trabajo realizado en una distribución de carga.(es decir, un objeto cargado eléctricamente), a través del flujo de energía .
Declaración
General
En palabras, el teorema es un balance energético:
- La tasa de transferencia de energía (por unidad de volumen) desde una región del espacio es igual a la tasa de trabajo realizado en una distribución de carga más el flujo de energía que sale de esa región.
Un segundo enunciado también puede explicar el teorema: "La disminución de la energía electromagnética por unidad de tiempo en un cierto volumen es igual a la suma del trabajo realizado por las fuerzas de campo y el flujo neto hacia afuera por unidad de tiempo".
Matemáticamente,
donde ∇ • S es la divergencia del vector de Poynting (flujo de energía) y J • E es la velocidad a la que los campos funcionan en un objeto cargado ( J es la densidad de corriente correspondiente al movimiento de la carga, E es el campo eléctrico , y • es el producto escalar ). La densidad de energía u , asumiendo que no hay polarizabilidad eléctrica o magnética , viene dada por: [2]
en el que B es la densidad de flujo magnético . Usando el teorema de divergencia , el teorema de Poynting se puede reescribir en forma integral :
dónde es el límite de un volumen V . La forma del volumen es arbitraria pero fija para el cálculo.
Ingenieria Eléctrica
En el contexto de la ingeniería eléctrica, el teorema generalmente se escribe con el término de densidad de energía u expandido de las siguientes maneras, que se asemeja a la ecuación de continuidad :
dónde
- ε 0 es la constante eléctrica y μ 0 es la constante magnética .
- es la densidad de la potencia reactiva que impulsa la acumulación de campo eléctrico,
- es la densidad de la potencia reactiva que impulsa la acumulación de campo magnético, y
- es la densidad de la energía eléctrica disipada por la fuerza de Lorentz que actúa sobre los portadores de carga.
Derivación
Si bien la conservación de la energía y la ley de fuerza de Lorentz pueden dar la forma general del teorema, las ecuaciones de Maxwell también son necesarias para derivar la expresión del vector de Poynting y, por lo tanto, completar el enunciado.
Teorema de poynting
Teniendo en cuenta el enunciado expresado anteriormente, hay tres elementos en el teorema, que implican escribir la transferencia de energía (por unidad de tiempo) como integrales de volumen : [3]
- Dado que u es la densidad de energía, la integración sobre el volumen de la región da la energía total U almacenada en la región, luego, tomando la derivada (parcial) del tiempo, se obtiene la tasa de cambio de energía:
- El flujo de energía que sale de la región es la integral de superficie del vector de Poynting, y usando el teorema de divergencia, esto se puede escribir como una integral de volumen:
- La densidad de fuerza de Lorentz f en una distribución de carga, integrada sobre el volumen para obtener la fuerza total F , es
donde ρ es la densidad de carga de la distribución yv su velocidad . Desde, la tasa de trabajo realizado por la fuerza es
Entonces, por conservación de energía, la ecuación de equilibrio para el flujo de energía por unidad de tiempo es la forma integral del teorema:
y dado que el volumen V es arbitrario, esto es cierto para todos los volúmenes, lo que implica
que es el teorema de Poynting en forma diferencial.
Vector de poynting
A partir del teorema, se puede encontrar la forma real del vector S de Poynting . La derivada en el tiempo de la densidad de energía (usando la regla del producto para productos escalares vectoriales ) es
utilizando las relaciones constitutivas [ aclaración necesaria ]
Las derivadas de tiempo parcial sugieren el uso de dos de las ecuaciones de Maxwell . Tomando el producto escalar de la ecuación de Maxwell-Faraday con H :
a continuación, tomando el producto escalar de la ecuación de Maxwell-Ampère con E :
La recopilación de los resultados hasta ahora da:
luego, usando la identidad de cálculo vectorial :
da una expresión para el vector de Poynting:
lo que físicamente significa que la transferencia de energía debido a campos eléctricos y magnéticos que varían en el tiempo es perpendicular a los campos
Vector de Poynting en medios macroscópicos
En un medio macroscópico, los efectos electromagnéticos se describen mediante campos promediados espacialmente (macroscópicos). El vector de Poynting en un medio macroscópico se puede definir de manera autoconsistente con la teoría microscópica, de tal manera que el vector de Poynting microscópico promediado espacialmente se predice exactamente mediante un formalismo macroscópico. Este resultado es estrictamente válido en el límite de baja pérdida y permite la identificación inequívoca de la forma del vector de Poynting en electrodinámica macroscópica. [4] [5]
Formas alternativas
Es posible derivar versiones alternativas del teorema de Poynting. [6] En lugar del vector de flujo E × B que el anterior, es posible seguir el mismo estilo de derivación, pero en lugar de elegir la forma Abraham E × H , el Minkowski forma D × B , o tal vez D × H . Cada elección representa la respuesta del medio de propagación a su manera: la forma E × B anterior tiene la propiedad de que la respuesta ocurre solo debido a corrientes eléctricas, mientras que la forma D × H usa solo corrientes monopolo magnéticas (ficticias) . Las otras dos formas (Abraham y Minkowski) utilizan combinaciones complementarias de corrientes eléctricas y magnéticas para representar las respuestas de polarización y magnetización del medio.
Generalización
La contraparte de energía mecánica del teorema anterior para la ecuación de continuidad de energía electromagnética es
donde u m es la densidad de energía cinética (mecánica) en el sistema. Puede describirse como la suma de las energías cinéticas de las partículas α (por ejemplo, electrones en un cable), cuya trayectoria está dada por r α ( t ):
donde S m es el flujo de sus energías, o un "vector mecánico de Poynting":
Ambos se pueden combinar a través de la fuerza de Lorentz , que los campos electromagnéticos ejercen sobre las partículas cargadas en movimiento (ver arriba), a la siguiente ecuación de continuidad de energía o ley de conservación de energía : [7]
cubriendo ambos tipos de energía y la conversión de una en otra.
Referencias
- ^ Poynting, JH (diciembre de 1884). 10.1098 / rstl.1884.0016 . . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 175 : 343–361. doi :
- ^ Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica. Prentice Hall, 1981, primera edición, ISBN 013481374X ; 4a edición, 2017
- ^ Introducción a la electrodinámica (tercera edición), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, p.364, ISBN 81-7758-293-3
- ^ Silveirinha, MG (2010). "Vector de Poynting, tasa de calentamiento y energía almacenada en materiales estructurados: una derivación de primeros principios". Phys. Rev. B . 82 : 037104. doi : 10.1103 / physrevb.82.037104 .
- ^ Costa, JT, MG Silveirinha, A. Alù (2011). "Vector de Poynting en metamateriales de índice negativo". Phys. Rev. B . 83 : 165120. doi : 10.1103 / physrevb.83.165120 .
- ^ Kinsler, P .; Favaro, A .; McCall MW (2009). "Cuatro teoremas de Poynting" (PDF) . Revista europea de física . 30 (5): 983. arXiv : 0908.1721 . Código Bibliográfico : 2009EJPh ... 30..983K . doi : 10.1088 / 0143-0807 / 30/5/007 .
- ^ Richter, E .; Florian, M .; Henneberger, K. (2008). "Teorema de Poynting y conservación de energía en la propagación de la luz en medios acotados". Cartas de Europhysics . 81 (6): 67005. arXiv : 0710.0515 . Código Bibliográfico : 2008EL ..... 8167005R . doi : 10.1209 / 0295-5075 / 81/67005 .
enlaces externos
- Eric W. Weisstein "Teorema de Poynting" de ScienceWorld - Un recurso web de Wolfram.