En matemáticas , lógica y filosofía de las matemáticas , algo que es impredicativo es una definición autorreferencial . En términos generales, una definición es impredicativa si invoca (menciona o cuantifica) el conjunto que se define o (más comúnmente) otro conjunto que contiene la cosa que se define. No existe una definición precisa generalmente aceptada de lo que significa ser predicativo o impredicativo. Los autores han dado definiciones diferentes pero relacionadas.
Lo opuesto a la impredicatividad es la predicatividad, que esencialmente implica la construcción de teorías estratificadas (o ramificadas) donde la cuantificación en niveles más bajos da como resultado variables de algún tipo nuevo, que se distinguen de los tipos más bajos en los que se extiende la variable. Un ejemplo prototípico es la teoría de tipos intuicionista , que conserva la ramificación para descartar la impredicatividad.
La paradoja de Russell es un ejemplo famoso de una construcción impredicativa, a saber, el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. La paradoja es que tal conjunto no puede existir: si existiera, se podría preguntar si se contiene a sí mismo o no; si lo hace, entonces, por definición, no debería, y si no lo hace, entonces por definición debería.
La mayor cota inferior de un conjunto X , glb( X ) , también tiene una definición impredicativa: y = glb( X ) si y solo si para todos los elementos x de X , y es menor o igual que x , y cualquier z menor que o igual a todos los elementos de X es menor o igual a y . Esta definición cuantifica sobre el conjunto (potencialmente infinito , dependiendo del orden en cuestión) cuyos miembros son los límites inferiores de X, uno de los cuales es el propio glb. Por lo tanto, el predicativismo rechazaría esta definición. [1]
A las normas (que contienen una variable) que no definen clases propongo llamarlas no predicativas ; los que sí definen clases los llamaré predicativos .
( Russell 1907 , p.34) (Russell usó "norma" para referirse a una proposición: más o menos algo que puede tomar los valores "verdadero" o "falso").