Presheaf (teoría de categorías)

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En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un prehaz en una categoría es un funtor . Si es el poset de conjuntos abiertos en un espacio topológico , interpretado como una categoría, entonces se recupera la noción habitual de pregavilla en un espacio topológico.${\ estilo de visualización C}$ ${\displaystyle F\dos puntos C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Establecer} }$${\ estilo de visualización C}$

Un morfismo de pregavillas se define como una transformación natural de funtores. Esto convierte la colección de todos los pregavillas en una categoría y es un ejemplo de una categoría de funtores . A menudo se escribe como . Un funtor en a veces se llama profunctor .${\ estilo de visualización C}$${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Conjunto} ^{C^{\mathrm {op} }}}$${\displaystyle {\sombrero ancho {C}}}$

Un prehaz que es naturalmente isomorfo al hom-funtor contravariante Hom(–, A ) para algún objeto A de C se llama un prehaz representable .

Algunos autores se refieren a un funtor como un presheave de valor . ^[1]${\displaystyle F\dos puntos C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$${\ estilo de visualización \ mathbf {V}}$

La construcción se llama la terminación colímite de C debido a la siguiente propiedad universal :${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Conjunto})}$

Proposición ^[3]  —  Sean C , D categorías y supongamos que D admite colímites pequeños. Entonces cada funtor se factoriza como${\ estilo de visualización \ eta: C \ a D}$

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