Los problemas que involucran progresiones aritméticas son de interés en teoría de números , [1] combinatoria e informática , tanto desde el punto de vista teórico como aplicado.
Los subconjuntos más grandes sin progresión
Encuentre la cardinalidad (denotada por A k ( m )) del subconjunto más grande de {1, 2, ..., m } que no contiene progresión de k términos distintos. No es necesario que los elementos de las progresiones prohibidas sean consecutivos.
Por ejemplo, A 4 (10) = 8, porque {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} no tiene progresiones aritméticas de longitud 4, mientras que todos los subconjuntos de 9 elementos de {1, 2,. .., 10} tener uno. Paul Erdős fijó un premio de $ 1000 por una pregunta relacionada con este número, recaudado por Endre Szemerédi por lo que se conoce como teorema de Szemerédi .
Progresiones aritméticas a partir de números primos
El teorema de Szemerédi establece que un conjunto de números naturales de densidad asintótica superior distinta de cero contiene progresiones aritméticas finitas, de cualquier longitud k arbitraria .
Erdős hizo una conjetura más general de la que se seguiría que
- La secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud.
Este resultado fue probado por Ben Green y Terence Tao en 2004 y ahora se conoce como el teorema de Green-Tao . [2]
Véase también el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas .
A partir de 2020[actualizar], la progresión aritmética de números primos más larga conocida tiene una longitud de 27: [3]
- 224584605939537911 + 81292139 · 23 # · n , para n = 0 a 26. ( 23 # = 223092870 )
A partir de 2011, la progresión aritmética más larga conocida de números primos consecutivos tiene una longitud de 10. Se encontró en 1998. [4] [5] La progresión comienza con un número de 93 dígitos
- 100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689
- 19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719
y tiene la diferencia común 210.
Fuente sobre la conjetura de Erdős-Turán de 1936:
- P. Erdős y P. Turán, Sobre algunas secuencias de números enteros, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261-264.
Primas en progresiones aritméticas
El teorema de los números primos para las progresiones aritméticas trata de la distribución asintótica de los números primos en una progresión aritmética.
Cubriendo y dividiendo en progresiones aritméticas
- Encuentre el mínimo l n tal que cualquier conjunto de n residuos módulo p pueda ser cubierto por una progresión aritmética de la longitud l n . [6]
- Para un conjunto S dado de enteros, encuentre el número mínimo de progresiones aritméticas que cubren S
- Para un conjunto S dado de enteros, encuentre el número mínimo de progresiones aritméticas no superpuestas que cubren S
- Encuentre el número de formas de dividir {1, ..., n } en progresiones aritméticas. [7]
- Encuentre el número de formas de dividir {1, ..., n } en progresiones aritméticas de longitud al menos 2 con el mismo período. [8]
- Ver también Sistema de cobertura
Ver también
Notas
- ^ Samuel S. Wagstaff, Jr. (1979). "Algunas preguntas sobre progresiones aritméticas". American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 86 (7): 579–582. doi : 10.2307 / 2320590 . JSTOR 2320590 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Primera progresión aritmética" . MathWorld .
- ^ Jens Kruse Andersen, Primas en registros de progresión aritmética . Consultado el 10 de agosto de 2020.
- ^ H. Dubner; T. Forbes; N. Lygeros; M. Mizony; H. Nelson; P. Zimmermann, "Diez números primos consecutivos en progresión aritmética", Matemáticas. Comp. 71 (2002), 1323-1328.
- ^ Proyecto Nueve y Diez Primas
- ^ Vsevolod F. Lev (2000). "Aproximaciones simultáneas y cubrimiento por progresiones aritméticas sobre F p " . Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 92 (2): 103-118. doi : 10.1006 / jcta.1999.3034 .
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A053732 (Número de formas de dividir {1, ..., n} en progresiones aritméticas de longitud> = 1)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A072255 (Número de formas de dividir {1,2, ..., n} en progresiones aritméticas ...)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.