En matemáticas , dados dos espacios medibles y medidas en ellos, se puede obtener un espacio medible de producto y una medida de producto en ese espacio. Conceptualmente, esto es similar a definir el producto cartesiano de conjuntos y la topología de producto de dos espacios topológicos, excepto que puede haber muchas opciones naturales para la medida del producto.
Dejar y ser dos espacios medibles , es decir, y son álgebras sigma en y respectivamente, y dejar y Ser medidas en estos espacios. Denotamos porel álgebra sigma en el producto cartesiano generado por subconjuntos del formulario, dónde y Esta álgebra sigma se llama álgebra σ del producto tensorial en el espacio del producto.
Una medida de producto se define como una medida en el espacio medible satisfaciendo la propiedad
para todos
- .
(Al multiplicar medidas, algunas de las cuales son infinitas, definimos el producto como cero si algún factor es cero).
De hecho, cuando los espacios son -finito, la medida del producto se define de forma única, y para cada conjunto medible E ,
dónde y , que son conjuntos medibles.
La existencia de esta medida está garantizada por el teorema de Hahn-Kolmogorov . La unicidad de la medida del producto está garantizada solo en el caso de que ambos y son σ-finitos .
Las medidas de Borel en el espacio euclidiano R n se pueden obtener como producto de n copias de medidas de Borel en la recta real R .
Incluso si los dos factores del espacio del producto son espacios de medida completos , es posible que el espacio del producto no lo sea. En consecuencia, el procedimiento de finalización es necesario para extender la medida de Borel a la medida de Lebesgue , o para extender el producto de dos medidas de Lebesgue para dar la medida de Lebesgue en el espacio de productos.
La construcción opuesta a la formación del producto de dos medidas es la desintegración , que en cierto sentido "divide" una medida dada en una familia de medidas que pueden integrarse para dar la medida original.
Ejemplos de
- Dados dos espacios de medida, siempre hay una medida de producto máxima única μ max en su producto, con la propiedad de que si μ max ( A ) es finito para algún conjunto medible A , entonces μ max ( A ) = μ ( A ) para cualquier medida del producto μ. En particular, su valor en cualquier conjunto medible es al menos el de cualquier otra medida de producto. Ésta es la medida producida por el teorema de extensión de Carathéodory .
- A veces también hay una medida de producto mínima única μ min , dada por μ min ( S ) = sup A ⊂ S , μ max ( A ) finito μ max ( A ), donde se supone que A y S son medibles.
- A continuación se muestra un ejemplo en el que un producto tiene más de una medida de producto. Tome el producto X × Y , donde X es el intervalo unitario con medida de Lebesgue e Y es el intervalo unitario con medida de conteo y todos los conjuntos medibles. Entonces, para la medida del producto mínimo, la medida de un conjunto es la suma de las medidas de sus secciones horizontales, mientras que para la medida del producto máximo, un conjunto tiene medida infinita a menos que esté contenido en la unión de un número contable de conjuntos de la forma A × B , donde A tiene medida de Lebesgue 0 o B es un solo punto. (En este caso, la medida puede ser finita o infinita). En particular, la diagonal tiene medida 0 para la medida mínima del producto y medida infinita para la medida máxima del producto.
Ver también
Referencias
- Loève, Michel (1977). "8.2. Medidas de producto e integrales iteradas". Teoría de la probabilidad vol. I (4ª ed.). Saltador. págs. 135-137. ISBN 0-387-90210-4.
- Halmos, Paul (1974). "35. Medidas del producto". Teoría de la medida . Saltador. págs. 143-145 . ISBN 0-387-90088-8.
Este artículo incorpora material de la medida del producto en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .