En la teoría de la medida , el teorema de extensión de Carathéodory (llamado así por el matemático Constantin Carathéodory ) establece que cualquier premedida definida en un anillo dado R de subconjuntos de un conjunto dado Ω puede extenderse a una medida en el σ-álgebra generada por R , y esta extensión es única si la medida previa es σ-finita . En consecuencia, cualquier premedida en un anillo que contenga todos los intervalos de números reales puede extenderse al álgebra de Borel.del conjunto de números reales. Este es un resultado extremadamente poderoso de la teoría de la medida y conduce, por ejemplo, a la medida de Lebesgue .
El teorema también se conoce a veces como el teorema de la extensión de Carathéodory-Fréchet, el teorema de la extensión de Carathéodory-Hopf, el teorema de la extensión de Hopf y el teorema de la extensión de Hahn-Kolmogorov. [1]
Declaración introductoria
Pueden darse varios enunciados muy similares del teorema. Más abajo se proporciona uno un poco más complicado, basado en semianillos de conjuntos. Una declaración más corta y simple es la siguiente. De esta forma, a menudo se denomina teorema de Hahn-Kolmogorov .
Dejar ser un álgebra de subconjuntos de un conjunto Considere una función
que es finitamente aditivo , lo que significa que
para cualquier entero positivo N y disjunto se establece en.
Suponga que esta función satisface el supuesto de aditividad sigma más fuerte
para cualquier familia disjunta de elementos de tal que . (Funcionesobedecer estas dos propiedades se conocen como medidas previas ) .Entonces,se extiende a una medida definida en sigma-álgebra generado por ; es decir, existe una medida
tal que su restricción a coincide con
Si es -finita, entonces la extensión es única.
Comentarios
Este teorema es notable porque permite construir una medida definiéndola primero en un álgebra pequeña de conjuntos, donde su aditividad sigma podría ser fácil de verificar, y luego este teorema garantiza su extensión a un álgebra sigma. La demostración de este teorema no es trivial, ya que requiere extender de un álgebra de conjuntos a un sigma-álgebra potencialmente mucho más grande, lo que garantiza que la extensión es única (si es -finite), y además que no deja de satisfacer la sigma-aditividad de la función original.
Semi-anillo y anillo
Definiciones
Para un conjunto dado , podemos definir un semi-anillo como un subconjunto de , el conjunto de poder de, que tiene las siguientes propiedades:
- Para todos , tenemos (cerrado bajo intersecciones por pares)
- Para todos , existen conjuntos disjuntos , tal que (los complementos relativos se pueden escribir como uniones disjuntas finitas ).
La primera propiedad se puede reemplazar con desde .
Con la misma notación, definimos un anillo. como un subconjunto del conjunto de potencias de que tiene las siguientes propiedades:
- Para todos , tenemos (cerrado bajo uniones por pares)
- Para todos , tenemos (cerrado bajo complementos relativos).
Por lo tanto, cualquier anillo en es también un semi-anillo.
A veces, se agrega la siguiente restricción en el contexto de la teoría de medidas:
- es la unión disjunta de una familia contable de conjuntos en.
Un campo de conjuntos (respectivamente, un semi-campo) es un anillo (respectivamente, un semi-anillo) que también contiene como uno de sus elementos.
Propiedades
- Las intersecciones arbitrarias (posiblemente incontables ) de anillos en Ω siguen siendo anillos en Ω.
- Si A es un subconjunto no vacío de, A continuación, definimos el anillo generada por A (observado R (A) ) como la intersección de todos los anillos que contienen A . Es fácil ver que el anillo generada por A es el anillo más pequeño que contiene A .
- Para un semianillo S , el conjunto de todas las uniones finitas de conjuntos en S es el anillo generado por S :
(Se puede demostrar que R (S) es igual al conjunto de todas las uniones disjuntas finitas de conjuntos en S).
- Un contenido μ definida en un semi-anillo de S se puede extender en el anillo generada por S . Tal extensión es única. El contenido extendido se puede escribir:
- por , con el desarticular.
Además, se puede demostrar que μ es una medida previa si y solo si el contenido ampliado es también una medida previa, y que cualquier medida previa en R (S) que amplíe la medida previa en S es necesariamente de esta forma.
Motivación
En la teoría de la medida, no nos interesan los semianillos y los anillos en sí, sino más bien las σ-álgebras generadas por ellos. La idea es que es posible construir una premedida en un semianillo S (por ejemplo, medidas de Stieltjes ), que luego se puede extender a una premedida en R (S) , que finalmente se puede extender a una medida en un σ-álgebra a través del teorema de extensión de Caratheodory. Como las σ-álgebras generadas por semianillos y anillos son iguales, la diferencia realmente no importa (al menos en el contexto de la teoría de medidas). En realidad, el teorema de la extensión de Carathéodory se puede generalizar ligeramente reemplazando anillo por semi-campo. [2]
La definición de semi-anillo puede parecer un poco complicada, pero el siguiente ejemplo muestra por qué es útil (además, nos permite dar una representación explícita del anillo más pequeño que contiene algún semi-anillo).
Ejemplo
Piense en el subconjunto de definido por el conjunto de todos los intervalos semiabiertos [a, b) para a y b reales. Este es un semi-anillo, pero no un anillo. Las medidas de Stieltjes se definen en intervalos; la aditividad contable en el semianillo no es demasiado difícil de probar porque solo consideramos uniones contables de intervalos que son intervalos en sí mismos. La prueba para uniones contables arbitrarias de intervalos se logra utilizando el teorema de Caratheodory.
Declaración del teorema
Dejar teniendo en y sea μ : R → [0, + ∞] una medida previa en R , es decir, para todos los conjuntos para el cual existe una descomposición contable en conjuntos disjuntos , tenemos .
Deje σ ( R ) ser el σ -algebra generada por R . La condición previa a la medida es una condición necesaria paraser la restricción a R de una medida sobre. El teorema de la extensión de Carathéodory establece que también es suficiente, [3] es decir, existe una medida μ ′ : σ ( R ) → [0, + ∞] tal que μ ′ es una extensión de μ . (Es decir, μ ′ | R = μ ). Además, si μ es σ -finito, entonces la extensión μ ′ es única (y también σ -finita). [4]
Ejemplos de no unicidad de extensión
Puede haber más de una extensión de una premedida al σ-álgebra generada, si la premedida no es sigma-finita.
A través de la medida de conteo
Tome el álgebra generada por todos los intervalos semiabiertos [ a , b ) en la línea real, y dé tales intervalos miden infinito si no están vacíos. La extensión Carathéodory da a todos los conjuntos no vacíos la medida del infinito. Otra extensión viene dada por la medida de conteo .
Vía racionales
Este ejemplo es una variación más detallada de lo anterior. El intervalo racional cerrado-abierto es cualquier subconjunto de de la forma , dónde .
Dejar ser y deja ser el álgebra de todas las uniones finitas de intervalos racionales cerrados-abiertos contenidos en . Es fácil demostrar quees, de hecho, un álgebra. También es fácil ver que el cardenal de cada conjunto no vacío en es .
Dejar ser la función de conjunto de conteo () definido en . Está claro que es finamente aditivo y -aditivo en . Dado que cada conjunto no vacío en es infinito, entonces, para cada conjunto no vacío ,
Ahora deja ser el -álgebra generada por . Es fácil ver eso es el Borel -álgebra de subconjuntos de , y ambos y son medidas definidas en y ambos son extensiones de .
A través del teorema de Fubini
Otro ejemplo está estrechamente relacionado con la falla de algunas formas del teorema de Fubini para espacios que no son σ-finitos. Suponga que X es el intervalo unitario con la medida de Lebesgue e Y es el intervalo unitario con la medida de conteo discreta. Sea el anillo R generado por los productos A × B donde A es medible según Lebesgue y B es cualquier subconjunto, y dé a este conjunto la medida μ ( A ) card ( B ). Esto tiene un gran número de extensiones diferentes de una medida; por ejemplo:
- La medida de un subconjunto es la suma de las medidas de sus secciones horizontales. Esta es la extensión más pequeña posible. Aquí la diagonal tiene medida 0.
- La medida de un subconjunto es donde n ( x ) es el número de puntos del subconjunto con la coordenada x dada. La diagonal tiene medida 1.
- La extensión Carathéodory, que es la mayor extensión posible. Cualquier subconjunto de medida finita está contenido en alguna unión de un número contable de líneas horizontales. En particular, la diagonal tiene medida infinita.
Ver también
- Medida exterior : la prueba del teorema de extensión de Carathéodory se basa en el concepto de medida exterior.
- Medidas de Loeb , construidas utilizando el teorema de extensión de Carathéodory.
Referencias
- ^ Citando a Paul Loya: "Advertencia: He visto el siguiente teorema llamado teorema de extensión de Carathéodory , teorema de extensión de Carathéodory-Fréchet, teorema de extensión de Carathéodory-Hopf, teorema de extensión de Hopf, teorema de extensión de Hahn-Kolmogorov y muchos otros ¡No puedo recordarlo! Simplemente lo llamaremos Teorema de extensión. Sin embargo, leí en el libro de Folland (p. 41) que el teorema se debe originalmente a Maurice René Fréchet (1878-1973), quien lo demostró en 1924 ". Paul Loya (página 33).
- ^ Klenke, Achim (2014). Teoría de la probabilidad . Universitext. pag. Teorema 1.53. doi : 10.1007 / 978-1-4471-5361-0 . ISBN 978-1-4471-5360-3.
- ^ Vaillant, Noel. "Extensión de Caratheodory" (PDF) . Probability.net . Teorema 4.
- ^ Ash, Robert B. (1999). Teoría de la probabilidad y la medida (2ª ed.). Prensa académica. pag. 19. ISBN 0-12-065202-1.
Este artículo incorpora material del teorema de Hahn-Kolmogorov en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .