En geometría diferencial , una conexión proyectiva es un tipo de conexión de Cartan en un colector diferenciable .
La estructura de una conexión proyectiva se basa en la geometría del espacio proyectivo , en lugar del espacio afín correspondiente a una conexión afín . Al igual que las conexiones afines, las conexiones proyectivas también definen las geodésicas . Sin embargo, estas geodésicas no están parametrizadas afinamente . Más bien están parametrizados proyectivamente, lo que significa que el grupo de transformaciones lineales fraccionarias actúa sobre su clase preferida de parametrizaciones .
Como una conexión afín, las conexiones proyectivas tienen torsión y curvatura asociadas.
Espacio proyectivo como geometría del modelo
El primer paso para definir cualquier conexión Cartan es considerar el caso plano: en el que la conexión corresponde a la forma Maurer-Cartan en un espacio homogéneo .
En el escenario proyectivo, la variedad subyacente M del espacio homogéneo es el espacio proyectivo RP n que representaremos mediante coordenadas homogéneas [ x 0 , ..., x n ]. El grupo de simetría de M es G = PSL ( n +1, R ). [1] Sea H el grupo de isotropía del punto [1,0,0, ..., 0]. Por tanto, M = G / H presenta M como un espacio homogéneo.
Dejar ser el álgebra de Lie de G , yla de H . Tenga en cuenta que. Como matrices relativas a la base homogénea ,consta de matrices sin trazas ( n +1) × ( n +1):
- .
Y consta de todas estas matrices con ( w j ) = 0. En relación con la representación matricial anterior, la forma Maurer-Cartan de G es un sistema de formas 1 (ζ, α j , α j i , α i ) que satisface la estructura ecuaciones [2]
- d ζ + ∑ yo α yo ∧α yo = 0
- d α j + α j ∧ζ + ∑ k α j k ∧α k = 0
- d α j yo + α yo ∧α j + ∑ k α k yo ∧α j k = 0
- d α yo + ζ∧α yo + ∑ k α k ∧α k yo = 0 [3]
Estructuras proyectivas sobre variedades
Una estructura proyectiva es una geometría lineal en una variedad en la que dos puntos cercanos están conectados por una línea (es decir, una geodésica no parametrizada ) de una manera única. Además, una vecindad infinitesimal de cada punto está equipada con una clase de marcos proyectivos . Según Cartan (1924),
- Une variété (ou espace) à connexion projective est une variété numérique qui, au voisinage immédiat de chaque point, présente tous les caractères d'un espace projectif et douée de plus d'une loi permettant de raccorder en un seul espace projectif les deux petits morceaux qui entourent deux points infiniment voisins. ...
- Analytiquement, on choisira, d'une manière d'ailleurs arbitraire, dans l'espace projectif attaché à chaque point a de la variété, un repére définissant un système de coordonnées projectives. ... Le raccord entre les espaces projectifs attachés à deux points infiniment voisins a et a ' se traduira analytiquement par une transform homographique. ... [4]
Esto es análogo a la noción de Cartan de una conexión afín , en la que los puntos cercanos están así conectados y tienen un marco de referencia afín que se transporta de uno a otro (Cartan, 1923):
- La variété sera dite à "connexion affine" lorsqu'on aura défini, d'une manière d'ailleurs arbitraire, une loi permettant de repérer l'un par rapport à l'autre les espaces affines attachés à deux points infiniment voisins quelconques m et m ' de la variété; cete loi permettra de dire que tel point de l'espace affine attaché au point m ' corresponde à tel point de l'espace affine attaché au point m , que tel vecteur du premier espace es parallèle ou équipollent à tel vecteur du second espace. [5]
En el lenguaje moderno, una estructura proyectiva en un n- múltiple M es una geometría de Cartan modelada en el espacio proyectivo, donde este último es visto como un espacio homogéneo para PSL ( n +1, R ). En otras palabras, es un paquete PSL ( n +1, R ) equipado con
- una conexión PSL ( n +1, R ) (la conexión Cartan )
- una reducción del grupo de estructura al estabilizador de un punto en el espacio proyectivo
de modo que la forma de soldadura inducida por estos datos es un isomorfismo.
Notas
- ^ También es posible usar PGL ( n +1, R ), pero PSL ( n +1, R ) es más conveniente porque está conectado.
- ↑ El enfoque de Cartan fue derivar las ecuaciones estructurales de la condición de preservación de volumen en SL ( n +1) de modo que no se requiriera una referencia explícita al álgebra de Lie.
- ^ Un punto de interés es que esta última ecuación es completamente integrable , lo que significa que las fibras de G → G / H se pueden definir usando solo la forma de Maurer-Cartan, por el teorema de integración de Frobenius .
- ↑ Una variedad (o espacio) con conexión proyectiva es una variedad numérica que, en la vecindad inmediata de cada punto, posee todos los caracteres de un espacio proyectivo y además está dotada de una ley que permite conectar en un solo espacio proyectivo el dos pequeñas regiones que rodean dos puntos infinitamente cercanos. Analíticamente, elegimos, de una manera por lo demás arbitraria, un marco que define un marco de referencia proyectivo en el espacio proyectivo adjunto a cada punto de la variedad. .. La conexión entre los espacios proyectivas unidos a dos puntos infinitamente cerca unos y un' resultará analíticamente en una transformación homográfica (proyectiva). ..
- ^ La variedad se dice que "affinely conectado" cuando uno define, de una manera de otro modo arbitrario, una ley que permite colocar los espacios afines, unidos a dos arbitrarias puntos infinitamente cerca m y m' de la variedad, en correspondencia con El uno al otro; esta ley permitirá decir que un punto particular del espacio afín adjunto al punto m ' corresponde a un punto particular del espacio afín adjunto al punto m , de tal manera que un vector del primer espacio es paralelo o equipollente con el vector correspondiente del segundo espacio.
Referencias
- Cartan, Élie (1923). "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 40 : 325–412.
- Cartan, Élie (1924). "Sur les varietes una conexión proyectiva" . Bulletin de la Société Mathématique . 52 : 205–241.
- Hermann, R., Apéndice 1-3 en Cartan, E. Geometry of Riemannian Spaces , Math Sci Press, Massachusetts, 1983.
- Cartan, Élie (1926), "Les groupes d'holonomie des espaces généralisés", Acta Mathematica , 48 (1–2): 1–42, doi : 10.1007 / BF02629755
- Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-94732-9.
enlaces externos
- Ü. Lumiste (2001) [1994], "Conexión proyectiva" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press