Forma de soldadura

Construcción matemática de haces de fibras

En matemáticas , más precisamente en geometría diferencial , una soldadura (o en ocasiones en forma de soldadura ) de un haz de fibras a un colector liso es una forma de unir las fibras al colector de tal manera que puedan considerarse tangentes. De manera intuitiva, la soldadura expresa en términos abstractos la idea de que una variedad puede tener un punto de contacto con un determinado modelo de geometría de Klein en cada punto. En geometría diferencial extrínseca, la soldadura se expresa simplemente por la tangencia del espacio modelo al colector. En geometría intrínseca, se necesitan otras técnicas para expresarlo. La soldadura fue introducida en esta forma general porCharles Ehresmann en 1950. ^[1]

Soldadura de un haz de fibras

Deje que M sea un múltiple liso, y G un grupo de Lie , y dejar que E sea un haz de fibras suave sobre M con el grupo de estructura G . Supongamos que G actúa transitivamente sobre la fibra típica F de E , y que dim F = dim M . Una soldadura de E a M consta de los siguientes datos:

1. Un distinguido sección O  : M → E .
2. Un isomorfismo lineal de haces de vectores θ: T M → o ^* V E desde el haz tangente de M al retroceso del haz vertical de E a lo largo de la sección distinguida.

En particular, esta última condición puede interpretarse en el sentido de que θ determina un isomorfismo lineal

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow V_{o(x)}E}$

desde el espacio tangente de M en x hasta el espacio tangente (vertical) de la fibra en el punto determinado por la sección distinguida. La forma θ se llama forma de soldadura para la soldadura.

Casos especiales

Por convención, siempre que la elección de la soldadura sea única o determinada canónicamente, la forma de la soldadura se denomina forma canónica o forma tautológica.

Paquetes afines y paquetes vectoriales

Suponga que E es un conjunto de vectores afines (un conjunto de vectores sin una opción de sección cero). Entonces, una soldadura en E especifica primero una sección distinguida : es decir, una opción de sección cero o , de modo que E pueda identificarse como un paquete de vectores. La forma de soldadura es entonces un isomorfismo lineal

${\displaystyle \theta \colon TM\to V_{o}E,}$

Sin embargo, para un haz vector hay un isomorfismo canónico entre el espacio vertical en el origen y la fibra V _o E ≈ E . Haciendo esta identificación, la forma de la soldadura se especifica mediante un isomorfismo lineal

${\displaystyle TM\to E.}$

En otras palabras, un soldador en una afín paquete E es una opción de isomorfismo de E con el paquete de la tangente de M .

A menudo se habla de una forma de soldadura en un paquete de vectores , donde se entiende a priori que la sección distinguida de la soldadura es la sección cero del paquete. En este caso, el grupo de estructura del paquete de vectores a menudo se agranda implícitamente por el producto semidirecto de GL ( n ) con la fibra típica de E (que es una representación de GL ( n )). ^[2]

Ejemplos de

• Como caso especial, por ejemplo, el propio haz tangente lleva una forma de soldadura canónica, a saber, la identidad.
• Si M tiene una métrica Riemanniana (o métrica pseudo-Riemanniana ), entonces el tensor métrico covariante da un isomorfismo desde el haz tangente al haz cotangente , que es una forma de soldadura.${\displaystyle g\colon TM\to T^{*}M}$
• En la mecánica hamiltoniana , la forma de soldadura se conoce como la forma única tautológica , o alternativamente como la forma única de Liouville , la forma única de Poincaré , la forma única canónica o el potencial simpléctico .

Aplicaciones

• Una forma de soldadura en un paquete vectorial permite definir los tensores de torsión y contorsion de una conexión .

• Las formas de soldadura ocurren en el modelo sigma , donde unen el espacio tangente de una variedad espaciotemporal al espacio tangente de la variedad de campo.

• Las vierbeins , o tétradas en la relatividad general, parecen formas de soldadura, ya que unen gráficos de coordenadas en la variedad espaciotemporal, a la base preferida, generalmente ortonormal en el espacio tangente, donde los cálculos pueden simplificarse considerablemente. Es decir, los gráficos de coordenadas son los de las definiciones anteriores y el campo de marco es el paquete vertical . En el modelo sigma, los vierbeins son explícitamente las formas de soldadura.${\displaystyle TM}$${\displaystyle VE}$

Paquetes principales

En el lenguaje de los haces principales, una forma de soldadura en un principal suave G -bundle P sobre un colector liso M es una forma 1 diferencial horizontal y G -equivariante en P con valores en una representación lineal V de G tales que el paquete asociado El mapa del paquete tangente TM al paquete asociado P × _G V es un isomorfismo de paquete . (En particular, V y M debe tener la misma dimensión.)

Un ejemplo motivador de una forma de soldadura es la forma tautológica o fundamental en el haz de marcos de un colector.

La razón del nombre es que una forma de soldadura suelda (o une) el paquete principal abstracto al colector M identificando un paquete asociado con el paquete tangente. Las formas de soldadura proporcionan un método para estudiar estructuras G y son importantes en la teoría de las conexiones de Cartan . La terminología y el enfoque son particularmente populares en la literatura de física.

Notas

1. Kobayashi (1957).
2. Cf. Kobayashi (1957) sección 11 para una discusión de la reducción acompañante del grupo de estructura.

Referencias

• Ehresmann, C. (1950). "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiel". Colloque de Topologie, Bruxelles : 29–55.
• Kobayashi, Shoshichi (1957). "Teoría de las conexiones". Ana. Estera. Pura Appl . 43 (1): 119-194. doi : 10.1007 / BF02411907 .
• Kobayashi, Shoshichi y Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 y 2 (Nueva ed.). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.