En matemáticas , la geometría diferencial proyectiva es el estudio de la geometría diferencial , desde el punto de vista de las propiedades de los objetos matemáticos como funciones , difeomorfismos y subvariedades , que son invariantes bajo transformaciones del grupo proyectivo . Ésta es una mezcla de los enfoques de la geometría riemanniana de estudiar invariancias y del programa de Erlangen de caracterizar geometrías de acuerdo con sus simetrías grupales.
El área fue muy estudiada por matemáticos alrededor de 1890 durante una generación (por JG Darboux , George Henri Halphen , Ernest Julius Wilczynski , E. Bompiani , G. Fubini , Eduard Čech , entre otros), sin que surgiera una teoría integral de los invariantes diferenciales . Élie Cartan formuló la idea de una conexión proyectiva general , como parte de su método de marcos móviles ; En términos abstractos, este es el nivel de generalidad en el que el programa de Erlangen puede reconciliarse con la geometría diferencial, mientras que también desarrolla la parte más antigua de la teoría (para ellínea proyectiva ), a saber, la derivada de Schwarz , el invariante diferencial proyectivo más simple. [1]
J. Kanitani , Shiing-Shen Chern , AP Norden , G. Bol , SP Finikov y GF Laptev llevaron a cabo nuevos trabajos a partir de la década de 1930 . Incluso los resultados básicos sobre la osculación de curvas , un tema manifiestamente proyectivo-invariante, carecen de una teoría comprensiva. Las ideas de la geometría diferencial proyectiva se repiten en las matemáticas y sus aplicaciones, pero las formulaciones dadas todavía tienen sus raíces en el lenguaje de principios del siglo XX.
Ver también
Referencias
- ^ V. Ovsienko y S. Tabachnikov (2004). Geometría diferencial proyectiva antigua y nueva de la derivada de Schwarzian a la cohomología de grupos de difeomorfismo (PDF) . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. vii (prefacio). ISBN 9780521831864.
- Ernest Julius Wilczynski Geometría diferencial proyectiva de curvas y superficies regladas (Leipzig: BG Teubner, 1906)
Otras lecturas
- Notas sobre geometría diferencial proyectiva por Michael Eastwood