En matemáticas , el postulado de Bertrand (en realidad un teorema ) establece que para cadahay un primo tal que . Fue probado por primera vez por Pafnuty Chebyshev , y Srinivasa Ramanujan dio una prueba breve pero avanzada . [1] La esencia de la siguiente prueba elemental se debe a Paul Erdős . La idea básica de la demostración es mostrar que un cierto coeficiente binomial central necesita tener un factor primo dentro del intervalo deseado para que sea lo suficientemente grande. Esto es posible gracias a un análisis cuidadoso de la factorización prima de los coeficientes binomiales centrales.
Los pasos principales de la demostración son los siguientes. Primero, se muestra que cada factor de potencia principal que entra en la descomposición prima del coeficiente binomial central es como máximo . En particular, cada primo mayor quepuede entrar como máximo una vez en esta descomposición; es decir, su exponentees como máximo uno. El siguiente paso es demostrar que no tiene factores primos en absoluto en el intervalo de brecha . Como consecuencia de estos dos límites, la contribución al tamaño de proveniente de todos los factores primos que son como máximo crece asintóticamente como para algunos . Dado que el crecimiento asintótico del coeficiente binomial central es al menos, se concluye que para lo suficientemente grande, el coeficiente binomial debe tener otro factor primo, que solo puede estar entre y . De hecho, al hacer estas estimaciones cuantitativas, se obtiene que este argumento es válido para todos. Los valores menores restantes de se resuelven fácilmente mediante inspección directa, completando la prueba del postulado de Bertrand. Esta prueba es tan corta y elegante que se considera una de las Pruebas del LIBRO .
Lema 1: Un límite inferior en los coeficientes binomiales centrales
Lema: para cualquier número entero, tenemos
Prueba: aplicando el teorema del binomio ,
desde es el término más grande en la suma en el lado derecho, y la suma tiene términos (incluido el inicial fuera de la suma).
Lema 2: Un límite superior de potencias primas que divide los coeficientes binomiales centrales
Por una prima fija , definir ser el orden p-ádico de, es decir, el mayor número natural tal que divide .
Lema: para cualquier prima, .
Prueba: el exponente de en es (ver Factorial # Teoría de números ):
entonces
Pero cada término de la última suma puede ser cero (si ) o 1 (si ) y todos los términos con son cero. Por lo tanto,
y
Esto completa la demostración del lema.
Lema 3: Los coeficientes binomiales centrales no tienen factor primo en un intervalo grande
Reclamo: Si es extraño y , luego
Prueba: hay exactamente dos factores de en el numerador de la expresión , proveniente de los dos términos y en , y también dos factores de en el denominador de dos copias del término en . Todos estos factores se cancelan, sin dejar factores de en . (El límite en en las condiciones previas del lema asegura que es demasiado grande para ser un término del numerador, y la suposición de que es extraño es necesario para asegurar que aporta solo un factor de al numerador).
Lema 4: Un límite superior en el primorial
Estimamos la función primorial ,
donde el producto se toma sobre todos los números primos menor o igual que el número real
Lema: para todos los números reales,
Prueba: Desde y , basta con probar el resultado bajo el supuesto de que es un entero, Desde es un número entero y todos los números primos aparecen en su numerador pero no en su denominador, tenemos
La prueba procede por inducción completa en
- Si , luego
- Si , luego
- Si es impar, , luego por la estimación anterior y el supuesto de inducción, ya que y es
- Si es par y luego por la estimación anterior y el supuesto de inducción, ya que y es
Así queda probado el lema.
Suponga que hay un contraejemplo : un número entero n ≥ 2 tal que no hay primo p con n < p <2 n .
Si 2 ≤ n <468, entonces p puede elegirse entre los números primos 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631 (siendo cada uno menos del doble de su predecesor) tal que n < p <2 n . Por tanto, n ≥ 468.
No hay factores primos p de tal que:
- 2 n < p , ¡porque todo factor debe dividir (2 n ) !;
- p = 2 n , porque 2 n no es primo;
- n < p <2 n , porque asumimos que no existe tal número primo;
- 2 n / 3 < p ≤ n : según el Lema 3 .
Por lo tanto, todo factor primo p satisface p ≤ 2 n / 3.
Cuándo el número tiene como máximo un factor de p . Por el Lema 2 , para cualquier primo p tenemos p R ( p , n ) ≤ 2 n , por lo que el producto de p R ( p , n ) sobre los primos menores o iguales a es como máximo . Luego, comenzando con el Lema 1 y descomponiendo el lado derecho en su factorización prima, y finalmente usando el Lema 4 , estos límites dan:
Tomando logaritmos cede a
Por concavidad del lado derecho en función de n , la última desigualdad se verifica necesariamente en un intervalo. Dado que es cierto para n = 467 y no lo es para n = 468 , obtenemos
Pero estos casos ya han sido resueltos y llegamos a la conclusión de que no es posible ningún contraejemplo del postulado.