En matemáticas la envolvente Karoubi (o terminación Cauchy o finalización idempotente ) de una categoría C es una clasificación de los idempotentes de C , por medio de una categoría de auxiliar. Si se toma la envoltura de Karoubi de una categoría preaditiva, se obtiene una categoría pseudo-abeliana , por lo que la construcción a veces se denomina terminación pseudo-abeliana. Lleva el nombre del matemático francés Max Karoubi .
Dada una categoría C , un idempotente de C es un endomorfismo
con
- .
Se dice que un idempotente e : A → A se divide si hay un objeto B y morfismos f : A → B , g : B → A tales que e = g f y 1 B = f g .
El sobre de Karoubi de C , a veces escrito Split (C) , es la categoría cuyos objetos son pares de la forma ( A , e ) donde A es un objeto de C yes un idempotente de C , y cuyos morfismos son los triples
dónde es un morfismo de C que satisface (o equivalente ).
La composición en Split (C) es como en C , pero el morfismo de identidad enen Split (C) es, en lugar de la identidad en .
La categoría C se integra completa y fielmente en Split (C) . En Split (C) cada idempotente se divide, y Split (C) es la categoría universal con esta propiedad. Por tanto, la envoltura de Karoubi de una categoría C puede considerarse como la "terminación" de C que divide a los idempotentes.
La envolvente de Karoubi de una categoría C se puede definir de manera equivalente como la subcategoría completa de(el pre-despegue sobre C ) de retracciones de functores representables . La categoría de pre-ondas en C es equivalente a la categoría de pre-ondas en Split (C) .
Automorfismos en la envolvente de Karoubi
Un automorfismo en Split (C) tiene la forma, con inversa satisfactorio:
Si la primera ecuación se relaja para tener , entonces f es un automorfismo parcial (con g inversa ). Una involución (parcial) en Split (C) es un automorfismo autoinverso (parcial).
Ejemplos de
- Si C tiene productos, entonces dado un isomorfismo el mapeo , compuesto con el mapa canónico de simetría, es una involución parcial .
- Si C es una categoría triangulada , la envolvente de Karoubi Split ( C ) se puede dotar con la estructura de una categoría triangulada de modo que el functor canónico C → Split ( C ) se convierta en un functor triangulado . [1]
- El sobre de Karoubi se utiliza en la construcción de varias categorías de motivos .
- La construcción de la envolvente de Karoubi lleva semi-adjuntos a adjuntos . [2] Por esta razón, la envolvente de Karoubi se utiliza en el estudio de modelos del cálculo lambda no tipificado . La envolvente de Karoubi de un modelo lambda extensional (un monoide, considerado como una categoría) es cartesiana cerrada. [3] [4]
- La categoría de módulos proyectivos sobre cualquier anillo es el sobre de Karoubi de su subcategoría completa de módulos libres.
- La categoría de paquetes de vectores sobre cualquier espacio paracompacto es la envoltura de Karoubi de su subcategoría completa de paquetes triviales. Este es, de hecho, un caso especial del ejemplo anterior del teorema de Serre-Swan y, a la inversa, este teorema se puede probar probando primero estos dos hechos, la observación de que el functor de secciones globales es una equivalencia entre paquetes vectoriales triviales sobre y módulos gratuitos sobre y luego usando la propiedad universal de la envoltura de Karoubi.
Referencias
- ^ Balmer y Schlichting 2001
- ^ Susumu Hayashi (1985). "Adjunción de semifunctores: estructuras categóricas en cálculo lambda no extensional" . Informática Teórica . 41 : 95-104. doi : 10.1016 / 0304-3975 (85) 90062-3 .
- ^ CPJ Koymans (1982). "Modelos del cálculo lambda" . Información y control . 52 : 306–332. doi : 10.1016 / s0019-9958 (82) 90796-3 .
- ^ DS Scott (1980). "Relacionar teorías del cálculo lambda". Para HB Curry: Ensayos en lógica combinatoria .
- Balmer, Paul; Schlichting, Marco (2001), "Compleción idempotente de categorías trianguladas" (PDF) , Journal of Algebra , 236 (2): 819–834, doi : 10.1006 / jabr.2000.8529 , ISSN 0021-8693