En topología general , el pseudoarco es el continuo no degenerado hereditariamente indecomponible más simple . El pseudoarco es un continuo homogéneo en forma de arco y desempeñó un papel central en la clasificación de continuos planos homogéneos. RH Bing demostró que, en cierto sentido bien definido, la mayoría de los continuos en R n , n ≥ 2, son homeomórficos al pseudoarco.
Historia
En 1920, Bronisław Knaster y Kazimierz Kuratowski preguntaron si un continuo homogéneo no degenerada en el plano euclidiano R 2 debe ser una curva de Jordan . En 1921, Stefan Mazurkiewicz preguntó si un continuo no degenerado en R 2 que es homeomórfico para cada uno de sus subcontinuos no degenerados debe ser un arco. En 1922, Knaster descubrió el primer ejemplo de un continuo K hereditariamente indecomposible , más tarde llamado pseudoarco, dando una respuesta negativa a una pregunta de Mazurkiewicz. En 1948, RH Bing demostró que el continuo de Knaster es homogéneo, es decir, para dos puntos cualesquiera hay un homeomorfismo que lleva al uno al otro. Sin embargo, también en 1948, Edwin Moise demostró que el continuo de Knaster es homeomórfico para cada uno de sus subcontinuos no degenerados. Debido a su semejanza con la propiedad fundamental del arco, es decir, ser homeomórfico para todos sus subcontinuos no degenerados, Moise llamó a su ejemplo M un pseudoarco . [a] La construcción de Bing es una modificación de la construcción de M de Moise , que había escuchado por primera vez descrita en una conferencia. En 1951, Bing demostró que todos los continuos en forma de arco hereditariamente indecomponibles son homeomórficos; esto implica que la K de Knaster , la M de Moise y la B de Bing son todas homeomórficas. Bing también demostró que el pseudoarco es típico entre los continuos en un espacio euclidiano de dimensión al menos 2 o un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita . [b] Bing y F. Burton Jones construyeron un continuo plano descomponible que admite un mapa abierto en el círculo, con cada punto preimagen homeomórfico del pseudoarco, llamado círculo de pseudoarcos. Bing y Jones también demostraron que es homogéneo. En 2016, Logan Hoehn y Lex Oversteegen clasificaron todos los continuos homogéneos planos, hasta un homeomorfismo, como el círculo, pseudoarco y círculo de pseudoarcos. En 2019, Hoehn y Oversteegen demostraron que el pseudoarco es topológicamente el único continuo planar hereditariamente equivalente, además del arco, proporcionando así una solución completa al caso plano del problema de Mazurkiewicz de 1921.
Construcción
Sigue la siguiente construcción del pseudoarco ( Wayne Lewis 1999 ) .
Cadenas
En el corazón de la definición de pseudoarco se encuentra el concepto de cadena , que se define de la siguiente manera:
- Una cadena es una colección finita de conjuntos abiertos.en un espacio métrico tal que si y solo si Los elementos de una cadena se llaman sus eslabones , y una cadena se llama cadena ε si cada uno de sus eslabones tiene un diámetro menor que ε.
Si bien es el más simple de los tipos de espacios enumerados anteriormente, el pseudoarco es en realidad muy complejo. El concepto de una cadena torcida (definido a continuación) es lo que dota al pseudo arco de su complejidad. De manera informal, requiere que una cadena siga un cierto patrón de zig-zag recursivo en otra cadena. Para 'moverse' del eslabón m de la cadena más grande al n ésimo, la cadena más pequeña debe moverse primero de manera torcida desde el eslabón m al eslabón ( n -1) th, luego de manera torcida al eslabón m. ( m +1) th enlace, y finalmente al n ésimo enlace.
Más formalmente:
- Dejar y ser cadenas tales que
- cada enlace de es un subconjunto de un enlace de , y
- para cualquier índice i , j , m y n con, , y , existen índices y con (o ) y y
- Luego está torcido en
Pseudoarco
Para cualquier colección C de conjuntos, dejedenotar la unión de todos los elementos de C . Es decir, deja
El pseudo-arco se define de la siguiente manera:
- Deje que p y q sean distintos puntos en el plano y ser una secuencia de cadenas en el plano tal que para cada i ,
- el primer enlace de contiene py el último enlace contiene q ,
- La cadena es un -cadena,
- el cierre de cada enlace de es un subconjunto de algún enlace de , y
- La cadena está torcido en .
- Dejar
- Entonces P es un pseudoarco .
Referencias
Notas
Citas
- ^ Henderson 1960 .
- ^ Nadler 1992 .
Bibliografía
- RH Bing, Un continuo plano homogéneo e indecomposible , Duke Math. J., 15: 3 (1948), 729–742
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- RH Bing y F. Burton Jones, "Otro continuo plano homogéneo", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 90 (1959), 171–192
- Henderson, George W. "Prueba de que todo continuo descomponible compacto que es topológicamente equivalente a cada uno de sus subcontinuos no degenerados es un arco". Ana. de Matemáticas. (2) 72 (1960), 421–428
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