Espacio pseudo-euclidiano
En matemáticas y física teórica , un espacio pseudo-euclidiano es un n -espacio real de dimensión finita junto con una forma cuadrática q no degenerada . Tal forma cuadrática puede, dada una elección adecuada de base ( e 1 , …, e n ) , ser aplicada a un vector x = x 1 e 1 + ⋯ + x n e n , dando
Para espacios euclidianos , k = n , lo que implica que la forma cuadrática es definida positiva. [2] Cuando 0 < k < n , q es una forma cuadrática isotrópica , de lo contrario es anisotrópica . Tenga en cuenta que si 1 ≤ i ≤ k < j ≤ n , entonces q ( e i + e j ) = 0 , de modo que e i + e j es un vector nulo. En un espacio pseudo-euclidiano con k < n , a diferencia de un espacio euclidiano, existen vectores con cuadrado escalar negativo .
Al igual que con el término espacio euclidiano , el término espacio pseudo-euclidiano puede usarse para referirse a un espacio afín o a un espacio vectorial según el autor, y este último se denomina alternativamente espacio vectorial pseudo-euclidiano [3] (ver distinción punto-vector ).
La geometría de un espacio pseudo-euclidiano es consistente a pesar de que no se aplican algunas propiedades del espacio euclidiano, más notablemente que no es un espacio métrico como se explica a continuación. La estructura afín permanece invariable, y por tanto también los conceptos de línea , plano y, en general, de un subespacio afín ( plano ), así como los segmentos de línea .
Un vector nulo es un vector cuya forma cuadrática es cero. A diferencia de un espacio euclidiano, dicho vector puede ser distinto de cero, en cuyo caso es autoortogonal . Si la forma cuadrática es indefinida, un espacio pseudo-euclidiano tiene un cono lineal de vectores nulos dado por { x : q ( x ) = 0 } . Cuando el espacio pseudo-euclidiano proporciona un modelo para el espacio-tiempo (ver más abajo ), el cono nulo se denomina cono de luz del origen.
El cono nulo separa dos conjuntos abiertos , [4] respectivamente para los cuales q ( x ) > 0 y q ( x ) < 0 . Si k ≥ 2 , entonces el conjunto de vectores para los cuales q ( x ) > 0 es conexo . Si k = 1 , entonces consta de dos partes disjuntas, una con x 1 > 0 y otra con x 1 < 0 . Se pueden hacer afirmaciones similares para vectores para los cuales q ( x ) < 0 si kse reemplaza con n − k .
