En álgebra , un álgebra de Okubo o álgebra de pseudo-octonion es un álgebra no asociativa de 8 dimensiones similar a la estudiada por Susumu Okubo . [1] Las álgebras de Okubo son álgebras de composición , álgebras flexibles ( A ( BA ) = ( AB ) A ), álgebras admisibles de mentira y asociativas de potencia , pero no son álgebras asociativas, no alternativas y no tienen un elemento de identidad.
El ejemplo de Okubo fue el álgebra de matrices complejas de cero trazas de 3 por 3 , con el producto de X e Y dado por aXY + bYX – Tr( XY ) I /3 donde I es la matriz identidad y a y b satisfacen a + b = 3 ab = 1. Los elementos hermitianos forman un álgebra de división real no asociativa de 8 dimensiones. Una construcción similar funciona para cualquier álgebra separable alternativa cúbica sobre un campo que contiene una raíz cúbica primitiva de la unidad. Un álgebra de Okubo es un álgebra construida de esta manera a partir de elementos de traza cero de un álgebra simple central de grado 3 sobre un campo. [2]
Las álgebras de composición unitaria se llaman álgebras de Hurwitz . [3] : 22 Si el campo básico K es el campo de los números reales y N es definido positivo , entonces A se llama álgebra euclidiana de Hurwitz .
Si K tiene una característica diferente a 2, entonces una forma bilineal ( a , b ) = 1 / 2 [ N ( a + b ) − N ( a ) − N ( b )] se asocia con la forma cuadrática N .
Suponiendo que A tiene una unidad multiplicativa, defina los operadores de multiplicación de involución y de derecha e izquierda por
Evidentementees una involución y conserva la forma cuadrática. La notación overline enfatiza el hecho de que la conjugación compleja y de cuaterniones son casos parciales de la misma. Estos operadores tienen las siguientes propiedades: