En matemáticas , una secuencia de Cauchy ( pronunciación francesa: [koʃi] ; Inglés: / k oʊ ʃ i / KOH -shee ), el nombre de Augustin-Louis Cauchy , es una secuencia cuyos elementos convertido arbitrariamente cerca unos de otros como la secuencia progresa. [1] Más precisamente, dada cualquier pequeña distancia positiva, todos menos un número finito de elementos de la secuencia son menores que la distancia dada entre sí.
No es suficiente que cada término se acerque arbitrariamente al término anterior . Por ejemplo, en la secuencia de raíces cuadradas de números naturales:
los términos consecutivos se acercan arbitrariamente entre sí:
Sin embargo, con valores crecientes del índice n , los términos a n se vuelven arbitrariamente grandes. Entonces, para cualquier índice ny distancia d , existe un índice m lo suficientemente grande como para que a m - a n > d . (En realidad, cualquier m > ( √ n + d ) 2 es suficiente.) Como resultado, a pesar de lo lejos que se llega, los términos restantes de la secuencia nunca se acercan entre sí , por lo que la secuencia no es de Cauchy.
La utilidad de las secuencias de Cauchy radica en el hecho de que en un espacio métrico completo (uno en el que se sabe que todas estas secuencias convergen hasta un límite ), el criterio de convergencia depende solo de los términos de la secuencia en sí, a diferencia de la definición de convergencia, que utiliza tanto el valor límite como los términos. Esto a menudo se explota en algoritmos , tanto teóricos como aplicados, donde un proceso iterativo puede mostrarse con relativa facilidad para producir una secuencia de Cauchy, que consta de iteraciones, cumpliendo así una condición lógica, como la terminación.
Existen generalizaciones de secuencias de Cauchy en espacios uniformes más abstractos en forma de filtros de Cauchy y redes de Cauchy .
En números reales
Una secuencia
de números reales se llama secuencia de Cauchy si para cada número real positivo ε , hay un entero positivo N tal que para todos los números naturales m , n > N
donde las barras verticales denotan el valor absoluto . De manera similar, se pueden definir secuencias de Cauchy de números racionales o complejos. Cauchy formuló tal condición requiriendoser infinitesimal para cada par de infinitos m , n .
Para cualquier número real r , la secuencia de expansiones decimales truncadas de r forma una secuencia de Cauchy. Por ejemplo, cuando r = π , esta secuencia es (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). Los términos m- ésimo y n- ésimo difieren como máximo en 10 1− m cuando m < n , y a medida que m crece, este se vuelve más pequeño que cualquier número positivo fijo ε.
Módulo de convergencia de Cauchy
Si es una secuencia en el conjunto , entonces un módulo de convergencia de Cauchy para la secuencia es una función del conjunto de números naturales a sí mismo, de modo que para todos los números naturales y números naturales , .
Cualquier secuencia con un módulo de convergencia de Cauchy es una secuencia de Cauchy. La existencia de un módulo para una secuencia de Cauchy se deriva de la propiedad de ordenamiento correcto de los números naturales (sea ser lo mas pequeño posible en la definición de secuencia de Cauchy, tomando ser - estar ). La existencia de un módulo también se sigue del principio de elección dependiente , que es una forma débil del axioma de elección, y también se sigue de una condición aún más débil llamada AC 00 . Las secuencias de Cauchy regulares son secuencias con un módulo dado de convergencia de Cauchy (generalmente o ). Cualquier secuencia de Cauchy con un módulo de convergencia de Cauchy es equivalente a una secuencia de Cauchy regular; esto se puede probar sin utilizar ninguna forma del axioma de elección.
Los módulos de convergencia de Cauchy son utilizados por matemáticos constructivos que no desean utilizar ninguna forma de elección. El uso de un módulo de convergencia de Cauchy puede simplificar tanto las definiciones como los teoremas en el análisis constructivo. Errett Bishop utilizó secuencias regulares de Cauchy en sus Foundations of Constructive Analysis y Douglas Bridges en un libro de texto no constructivo ( ISBN 978-0-387-98239-7 ).
En un espacio métrico
Dado que la definición de una secuencia de Cauchy sólo involucra conceptos métricas, es sencillo generalizar a cualquier espacio métrico X . Para ello, el valor absoluto | x m - x n | se reemplaza por la distancia d ( x m , x n ) (donde d denota una métrica ) entre x m y x n .
Formalmente, dado un espacio métrico ( X , d ) , una secuencia
- x 1 , x 2 , x 3 , ...
es Cauchy, si para cada número real positivo ε > 0 hay un entero positivo N tal que para todos los enteros positivos m , n > N , la distancia
- d ( x m , x n ) < ε .
En términos generales, los términos de la sucesión son cada vez más y más cerca entre sí de una manera que sugiere que la secuencia debe tener un límite en X . Sin embargo, tal límite no siempre existe dentro de X : la propiedad de un espacio de que cada secuencia de Cauchy converge en el espacio se llama completitud y se detalla a continuación.
Lo completo
Un espacio métrico ( X , d ) en el que cada secuencia de Cauchy converge a un elemento de X se llama completo .
Ejemplos de
Los números reales están completos bajo la métrica inducida por el valor absoluto habitual, y una de las construcciones estándar de los números reales involucra secuencias de Cauchy de números racionales . En esta construcción, cada clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales con un cierto comportamiento de cola, es decir, cada clase de secuencias que se acercan arbitrariamente entre sí, es un número real.
Un tipo de ejemplo bastante diferente lo proporciona un espacio métrico X que tiene la métrica discreta (donde dos puntos distintos están a una distancia de 1 entre sí). Cualquier secuencia de Cauchy de elementos de X debe ser constante más allá de algún punto fijo, y converge al término que eventualmente se repite.
No ejemplo: números racionales
Los números racionales Q no están completos (para la distancia habitual):
hay secuencias de racionales que convergen (en R ) a números irracionales ; estos son secuencias de Cauchy que no tienen límite en Q . De hecho, si un número real x es irracional, entonces la secuencia ( x n ), cuyo n -ésimo término es el truncamiento en n decimales de la expansión decimal de x , da una secuencia de Cauchy de números racionales con límite irracional x . Los números irracionales ciertamente existen en R , por ejemplo:
- La secuencia definida por consta de números racionales (1, 3/2, 17/12, ...), lo que se desprende de la definición; sin embargo, converge a la raíz cuadrada irracional de dos, consulte el método babilónico de calcular la raíz cuadrada .
- La secuencia de proporciones de números de Fibonacci consecutivos que, si convergen, convergen a un límite satisfactorio , y ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, si se considera esto como una secuencia de números reales, converge al número real., la proporción áurea , que es irracional.
- Se sabe que los valores de las funciones exponencial, seno y coseno, exp ( x ), sin ( x ), cos ( x ), son irracionales para cualquier valor racional de x ≠ 0, pero cada una puede definirse como el límite de una secuencia racional de Cauchy, utilizando, por ejemplo, la serie de Maclaurin .
No es un ejemplo: intervalo abierto
El intervalo abierto en el conjunto de números reales con una distancia ordinaria en R no es un espacio completo: hay una secuencia en ella, que es Cauchy (para distancias arbitrariamente pequeñas limitadas todos los términos de encajar en el intervalo), sin embargo no converge en - su 'límite', número , no pertenece al espacio .
Otras propiedades
- Cada secuencia convergente (con límite s , digamos) es una secuencia de Cauchy, ya que, dado cualquier número real ε > 0, más allá de algún punto fijo, cada término de la secuencia está dentro de la distancia ε / 2 de s , por lo que dos términos cualesquiera de la las secuencias están a una distancia ε entre sí.
- En cualquier espacio métrico, una secuencia de Cauchy x n está acotada (ya que para algunos N , todos los términos de la secuencia desde el N -ésimo en adelante están dentro de una distancia 1 entre sí, y si M es la distancia más grande entre x N y cualquier término hasta el N -ésimo, entonces ningún término de la secuencia tiene una distancia mayor que M + 1 desde x N ).
- En cualquier espacio métrico, una secuencia de Cauchy que tiene una subsecuencia convergente con límite s es en sí misma convergente (con el mismo límite), ya que, dado cualquier número real r > 0, más allá de algún punto fijo en la secuencia original, cada término de la subsecuencia está dentro de la distancia r / 2 de s , y dos términos cualesquiera de la secuencia original están dentro de una distancia r / 2 entre sí, por lo que cada término de la secuencia original está dentro de la distancia r de s .
Estas dos últimas propiedades, junto con el teorema de Bolzano-Weierstrass , producen una prueba estándar de la integridad de los números reales, estrechamente relacionada tanto con el teorema de Bolzano-Weierstrass como con el teorema de Heine-Borel . Cada secuencia de Cauchy de números reales está limitada, por lo tanto, Bolzano-Weierstrass tiene una subsecuencia convergente, por lo tanto, es en sí misma convergente. Esta prueba de la completitud de los números reales utiliza implícitamente el axioma del límite superior mínimo . El enfoque alternativo, mencionado anteriormente, de construir los números reales como la compleción de los números racionales, hace tautológica la completitud de los números reales.
Una de las ilustraciones estándar de la ventaja de poder trabajar con secuencias de Cauchy y hacer uso de la completitud se proporciona al considerar la suma de una serie infinita de números reales (o, más generalmente, de elementos de cualquier espacio lineal normalizado completo , o espacio Banach ). Tal seriese considera convergente si y solo si la secuencia de sumas parciales es convergente, donde . Es una cuestión de rutina determinar si la secuencia de sumas parciales es Cauchy o no, ya que para enteros positivos p > q ,
Si es un mapa uniformemente continuo entre los espacios métricos M y N y ( x n ) es una secuencia de Cauchy en M , entonceses una secuencia de Cauchy en N . Si y son dos secuencias de Cauchy en los números racionales, reales o complejos, entonces la suma y el producto también son secuencias de Cauchy.
Generalizaciones
En espacios vectoriales topológicos
También existe un concepto de secuencia de Cauchy para un espacio vectorial topológico : Elija una base local por aproximadamente 0; luego () es una secuencia de Cauchy si para cada miembro , hay un numero tal que siempre que es un elemento de . Si la topología dees compatible con una métrica invariante en la traducción , las dos definiciones coinciden.
En grupos topológicos
Dado que la definición del espacio vectorial topológico de la secuencia de Cauchy solo requiere que haya una operación de "resta" continua, también puede establecerse en el contexto de un grupo topológico : Una secuencia en un grupo topológico es una secuencia de Cauchy si para cada vecindario abierto de la identidad en existe un numero tal que siempre que resulta que . Como arriba, es suficiente verificar esto para los barrios en cualquier base local de la identidad en.
Como en la construcción de la terminación de un espacio métrico , se puede además definir la relación binaria en las secuencias de Cauchy en que y son equivalentes si para cada vecindario abierto de la identidad en existe un numero tal que siempre que resulta que . Esta relación es una relación de equivalencia : es reflexiva ya que las secuencias son secuencias de Cauchy. Es simétrico ya queque por continuidad de la inversa es otra vecindad abierta de la identidad. Es transitivo ya que dónde y son barrios abiertos de la identidad tales que ; tales pares existen por la continuidad de la operación grupal.
En grupos
También hay un concepto de secuencia de Cauchy en un grupo. : Dejar ser una secuencia decreciente de subgrupos normales dede índice finito . Entonces una secuencia en se dice que es Cauchy (wrt ) si y solo si para alguna hay tal que .
Técnicamente, esto es lo mismo que una secuencia de Cauchy de grupo topológico para una elección particular de topología en , es decir, aquello por lo que es una base local.
El conjunto de tales secuencias de Cauchy forma un grupo (para el producto por componentes), y el conjunto de secuencias nulas (s.th. ) es un subgrupo normal de . El grupo de factores se llama la finalización de con respecto a .
Entonces se puede demostrar que esta terminación es isomórfica al límite inverso de la secuencia..
Un ejemplo de esta construcción, familiar en la teoría de números y la geometría algebraica es la construcción de la terminación p -ádica de los enteros con respecto a un primo p . En este caso, G son los números enteros bajo la suma y H r es el subgrupo aditivo que consiste en múltiplos enteros de p r .
Si es una secuencia cofinal (es decir, cualquier subgrupo normal de índice finito contiene algunos), entonces esta terminación es canónica en el sentido de que es isomorfa al límite inverso de, dónde varía en todos los subgrupos normales de índice finito . Para más detalles, vea el cap. I.10 en "Álgebra" de Lang .
En un continuo hiperreal
Una secuencia real tiene una extensión hiperreal natural , definida para valores hipernaturales H del índice n además del n natural habitual . La secuencia es Cauchy si y solo si para cada H y K infinitos , los valores y son infinitamente cercanos o adecuados , es decir,
donde "st" es la función de pieza estándar .
Finalización de categorías de Cauchy
Krause (2018) introdujo una noción de finalización de una categoría por parte de Cauchy . Aplicada a Q (la categoría cuyos objetos son números racionales, y hay un morfismo de x a y si y sólo si x ≤ y ), este Cauchy rendimientos de terminación R (de nuevo interpretado como una categoría mediante su ordenamiento natural).
Ver también
- Modos de convergencia (índice anotado)
- Corte dedekind
Referencias
- ^ Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Lectura, Mass .: Addison-Wesley Pub. Co., ISBN 978-0-201-55540-0 , Zbl 0848.13001
Otras lecturas
- Bourbaki, Nicolas (1972). Álgebra conmutativa (traducción al inglés ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-00644-8.
- Krause, Henning (2018), Completando complejos perfectos: con apéndices de Tobias Barthel y Bernhard Keller , arXiv : 1805.10751 , Bibcode : 2018arXiv180510751B
- Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
- Spivak, Michael (1994). Cálculo (3ª ed.). Berkeley, CA: Publicar o morir. ISBN 0-914098-89-6. Archivado desde el original el 17 de mayo de 2007 . Consultado el 26 de mayo de 2007 .
- Troelstra, AS ; D. van Dalen . Constructivismo en matemáticas: una introducción . (para usos en matemáticas constructivas)
enlaces externos
- "Secuencia fundamental" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]