En matemáticas , un espacio pseudométrico es una generalización de un espacio métrico en el que la distancia entre dos puntos distintos puede ser cero o imaginaria. De la misma manera que todo espacio normado es un espacio métrico , todo espacio seminorizado es un espacio pseudométrico. Debido a esta analogía, el término espacio semimétrico (que tiene un significado diferente en topología ) se usa a veces como sinónimo, especialmente en el análisis funcional .
Cuando se genera una topología utilizando una familia de pseudometría, el espacio se denomina espacio de indicador .
Definición
Un espacio pseudométrico es un conjunto junto con una función de valor real no negativa (llamado pseudométrico ) de modo que, para cada,
- .
- ( simetría )
- ( subaditividad / desigualdad triangular )
A diferencia de un espacio métrico, los puntos en un espacio pseudométrico no necesitan ser distinguibles ; es decir, uno puede tener para valores distintos .
Ejemplos de
- La pseudometría surge naturalmente en el análisis funcional . Considere el espacio de funciones de valor real junto con un punto especial . Este punto entonces induce una pseudometría en el espacio de funciones, dada por
- por
- Para espacios vectoriales , un seminario induce una pseudometría en , como
- Por el contrario, una pseudométrica homogénea invariante en la traducción induce una seminorma.
- La pseudometría también surge en la teoría de variedades complejas hiperbólicas : ver métrica de Kobayashi .
- Cada espacio de medida puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo
- para todos , donde el triángulo denota diferencia simétrica .
- Si es una función y d 2 es una pseudometría en X 2 , entoncesda una pseudometría en X 1 . Si d 2 es una métrica y f es inyectiva , entonces d 1 es una métrica.
Topología
La topología pseudométrica es la topología generada por las bolas abiertas
que forman una base para la topología. [1] Se dice que un espacio topológico es un espacio pseudometrizable [2] si al espacio se le puede dar una pseudométrica tal que la topología pseudométrica coincida con la topología dada en el espacio.
La diferencia entre pseudometría y métrica es completamente topológica. Es decir, una pseudométrica es una métrica si y solo si la topología que genera es T 0 (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles).
Las definiciones de secuencias de Cauchy y finalización métrica para espacios métricos se transfieren a los espacios pseudométricos sin cambios. [3]
Identificación métrica
La desaparición de la pseudometría induce una relación de equivalencia , llamada identificación métrica , que convierte el espacio pseudométrico en un espacio métrico completo . Esto se hace definiendo Si . Dejarser el espacio cociente de X por esta relación de equivalencia y definir
Luego es una métrica en y es un espacio métrico bien definido, llamado espacio métrico inducido por el espacio pseudométrico . [4] [5]
La identificación métrica conserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto está abierto (o cerrado) en si y solo si está abierto (o cerrado) en y A está saturado. La identificación topológica es el cociente de Kolmogorov .
Un ejemplo de esta construcción es la finalización de un espacio métrico mediante sus secuencias de Cauchy .
Ver también
Notas
- ^ "Topología pseudométrica" . PlanetMath .
- ^ Willard, pág. 23
- ^ Cain, George (verano de 2000). "Capítulo 7: Espacios pseudométricos completos" (PDF) . Archivado desde el original el 7 de octubre de 2020 . Consultado el 7 de octubre de 2020 .
- ^ Howes, Norman R. (1995). Topología y análisis moderno . Nueva York, NY: Springer. pag. 27. ISBN 0-387-97986-7. Consultado el 10 de septiembre de 2012 .
Dejar ser un espacio pseudo-métrico y definir una relación de equivalencia en por Si . Dejar ser el espacio del cociente y la proyección canónica que mapea cada punto de en la clase de equivalencia que lo contiene. Definir la métrica en por para cada par . Se muestra fácilmente que es de hecho una métrica y define la topología del cociente en .
- ^ Simon, Barry (2015). Un curso completo de análisis . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-1470410995.
Referencias
- Arkhangel'skii, AV; Pontryagin, LS (1990). Topología General I: Conceptos Básicos y Construcciones Teoría de Dimensiones . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. Springer . ISBN 3-540-18178-4.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Contraejemplos en topología (nueva ed.). Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-68735-X.
- Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de 1970 ed.), Addison-Wesley
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- "Ejemplo de espacio pseudométrico" . PlanetMath .