Atractor de retroceso

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En matemáticas , el atractor de un sistema dinámico aleatorio puede considerarse vagamente como un conjunto al que evoluciona el sistema después de un tiempo suficientemente largo. La idea básica es la misma que para un sistema dinámico determinista , pero requiere un tratamiento cuidadoso porque los sistemas dinámicos aleatorios son necesariamente no autónomos . Esto requiere que uno considere la noción de un atractor pullback o un atractor en el sentido de pullback .

Considere un sistema dinámico aleatorio en un espacio métrico completamente separable , donde el ruido se elige de un espacio de probabilidad con flujo base .${\ estilo de visualización \ varphi}$ ${\ estilo de visualización (X, d)}$ ${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},\mathbb {P})}$ ${\displaystyle \vartheta:\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega }$

Una definición ingenua de un atractor para este sistema dinámico aleatorio sería requerir eso para cualquier condición inicial , como . Esta definición es demasiado limitada, especialmente en dimensiones superiores a uno. Una definición más plausible, modelada sobre la idea de un conjunto omega-límite , sería decir que un punto se encuentra en el atractor si y solo si existe una condición inicial , y hay una secuencia de tiempos tal que${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\ estilo de visualización x_ {0} \ en X}$${\displaystyle \varphi (t,\omega )x_{0}\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle t\to +\infty}$${\ estilo de visualización a \ en X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\ estilo de visualización x_ {0} \ en X}$${\displaystyle t_{n}\to +\infty}$

Esto no está demasiado lejos de una definición de trabajo. Sin embargo, todavía no hemos considerado el efecto del ruido , que hace que el sistema no sea autónomo (es decir, que dependa explícitamente del tiempo). Por razones técnicas, se hace necesario hacer lo siguiente: en lugar de mirar segundos hacia el "futuro", y considerar el límite como , uno "rebobina" los segundos de ruido hacia el "pasado", y evoluciona el sistema a través de segundos usando el mismo condición inicial. Es decir, uno está interesado en el límite de retroceso .${\ estilo de visualización \ omega}$${\ estilo de visualización t}$${\displaystyle t\to +\infty}$${\ estilo de visualización t}$${\ estilo de visualización t}$

Entonces, por ejemplo, en el sentido de retroceso, el límite omega establecido para un conjunto (posiblemente aleatorio) es el conjunto aleatorio${\displaystyle B(\omega )\subseteq X}$

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