En el campo matemático de los sistemas dinámicos , un sistema dinámico aleatorio es un sistema dinámico en el que las ecuaciones de movimiento tienen un elemento de aleatoriedad. Los sistemas dinámicos aleatorios se caracterizan por un espacio de estados S , un conjunto de mapas de S en sí mismo que se puede considerar como el conjunto de todas las posibles ecuaciones de movimiento, y una distribución de probabilidad Q en el conjuntoque representa la elección aleatoria del mapa. El movimiento en un sistema dinámico aleatorio se puede considerar informalmente como un estadoevolucionando de acuerdo a una serie de mapas elegidos al azar de acuerdo con la distribución Q . [1]
Un ejemplo de un sistema dinámico aleatorio es una ecuación diferencial estocástica ; en este caso, la distribución Q está determinada típicamente por términos de ruido . Consiste en un flujo base , el "ruido" y un sistema dinámico de ciclo en el espacio de fase "físico" . Otro ejemplo es el sistema dinámico aleatorio de estado discreto; Se discuten algunas contradistinciones elementales entre la cadena de Markov y las descripciones de sistemas dinámicos aleatorios de una dinámica estocástica. [2]
Motivación 1: Soluciones a una ecuación diferencial estocástica
Dejar ser un -campo vectorial dimensional , y deje. Supongamos que la solución a la ecuación diferencial estocástica
existe para todo el tiempo positivo y algún (pequeño) intervalo de tiempo negativo que depende de , dónde denota un -Proceso de Wiener dimensional ( movimiento browniano ). Implícitamente, esta declaración usa el espacio de probabilidad clásico de Wiener
En este contexto, el proceso de Wiener es el proceso de coordenadas.
Ahora defina un mapa de flujo o ( operador de solución ) por
(siempre que el lado derecho esté bien definido ). Luego (o, más precisamente, el par ) es un sistema dinámico aleatorio (local, del lado izquierdo). El proceso de generar un "flujo" desde la solución a una ecuación diferencial estocástica nos lleva a estudiar "flujos" adecuadamente definidos por sí mismos. Estos "flujos" son sistemas dinámicos aleatorios.
Motivación 2: Conexión con la cadena de Markov
Un sistema dinámico aleatorio iid en el espacio discreto se describe mediante un triplete .
- es el espacio de estado, .
- es una familia de mapas de . Cada uno de estos mapas tiene unrepresentación matricial, denominada matriz de transición determinista . Es una matriz binaria pero tiene exactamente una entrada 1 en cada fila y 0 en caso contrario.
- es la medida de probabilidad del -campo de .
El sistema dinámico aleatorio discreto viene de la siguiente manera,
- El sistema está en algún estado en , un mapa en se elige de acuerdo con la medida de probabilidad y el sistema se mueve al estado en el paso 1.
- Independientemente de mapas anteriores, otro mapa se elige de acuerdo con la medida de probabilidad y el sistema se mueve al estado .
- El procedimiento se repite.
La variable aleatoria se construye mediante la composición de mapas aleatorios independientes, . Claramente,es una cadena de Markov .
A la inversa, ¿puede representarse un MC dado mediante las composiciones de transformaciones aleatorias de iid, y de qué manera? Sí, puede, pero no es el único. La prueba de existencia es similar al teorema de Birkhoff-von Neumann para matrices doblemente estocásticas .
Aquí hay un ejemplo que ilustra la existencia y no unicidad.
Ejemplo: si el espacio de estado y el conjunto de las transformaciones expresado en términos de matrices de transición deterministas. Entonces una matriz de transición de Markov se puede representar mediante la siguiente descomposición mediante el algoritmo min-max,
Mientras tanto, otra descomposición podría ser
Definicion formal
Formalmente, [3] un sistema dinámico aleatorio consiste en un flujo base, el "ruido" y un sistema dinámico de ciclo en el espacio de fase "físico". En detalle.
Dejar ser un espacio de probabilidad , el espacio de ruido . Definir el flujo base de la siguiente manera: para cada "tiempo" , dejar ser una función medible que preserva la medida :
- para todos y ;
Supongamos también que
- , la función de identidad en;
- para todos , .
Es decir, , , forma un grupo de transformación del ruido que preserva la medida. Para sistemas dinámicos aleatorios unilaterales, se considerarían solo índices positivos; para sistemas dinámicos aleatorios de tiempo discreto, se considerarían solo valores enteros; en estos casos, los mapassolo formaría un monoide conmutativo en lugar de un grupo.
Si bien es cierto en la mayoría de las aplicaciones, generalmente no es parte de la definición formal de un sistema dinámico aleatorio requerir que el sistema dinámico que preserva la medida es ergódico .
Ahora deja ser un espacio métrico separable completo , el espacio de fase . Dejar ser un -función medible tal que
- para todos , , la función de identidad en ;
- para (casi) todos , es continuo en ambos y ;
- satisface la propiedad del ciclo (cruda) : para casi todos ,
En el caso de sistemas dinámicos aleatorios impulsados por un proceso de Wiener , el flujo base sería dado por
- .
Esto se puede leer como diciendo que "comienza el ruido a la hora en lugar del tiempo 0 ". Por lo tanto, la propiedad del ciclo se puede leer como diciendo que la evolución de la condición inicial con algo de ruido por segundos y luego a través segundos con el mismo ruido (como se inició desde el marca de segundos) da el mismo resultado que evolucionar mediante segundos con el mismo ruido.
Atractores para sistemas dinámicos aleatorios
La noción de atractor para un sistema dinámico aleatorio no es tan sencilla de definir como en el caso determinista. Por razones técnicas, es necesario "rebobinar el tiempo", como en la definición de atractor de retroceso . [4] Además, el atractor depende de la realización del ruido.
Ver también
Referencias
- ^ Bhattacharya, Rabi; Majumdar, Mukul (2003). "Sistemas dinámicos aleatorios: una revisión". Teoría económica . 23 (1): 13–38. doi : 10.1007 / s00199-003-0357-4 .
- ^ Ye, Felix X.-F .; Wang, Yue; Qian, Hong (agosto de 2016). "Dinámica estocástica: cadenas de Markov y transformaciones aleatorias" . Sistemas dinámicos discretos y continuos - Serie B . 21 (7): 2337–2361. doi : 10.3934 / dcdsb.2016050 .
- ^ Arnold, Ludwig (1998). Sistemas dinámicos aleatorios . ISBN 9783540637585.
- ^ Crauel, Hans; Debussche, Arnaud; Flandoli, Franco (1997). "Atractores aleatorios". Revista de dinámica y ecuaciones diferenciales . 9 (2): 307–341. Código bibliográfico : 1997JDDE .... 9..307C . doi : 10.1007 / BF02219225 .