En matemáticas , un grupo Witt de un campo , llamado así por Ernst Witt , es un grupo abeliano cuyos elementos están representados por formas bilineales simétricas sobre el campo.
Definición
Fija un campo k de característica que no sea igual a dos. Se supondrá que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita . Decimos que dos espacios equipados con formas bilineales simétricas son equivalentes si uno puede obtenerse del otro agregando un espacio cuadrático metabólico , es decir, cero o más copias de un plano hiperbólico , la forma bilineal simétrica bidimensional no degenerada con un vector norma 0. [1] Cada clase está representada por la forma central de una descomposición de Witt . [2]
El grupo de Witt de k es el grupo abeliano W ( k ) de clases de equivalencia de formas bilineales simétricas no degeneradas, con la operación de grupo correspondiente a la suma directa ortogonal de formas. Es generado de forma aditiva por las clases de formas unidimensionales. [3] Aunque las clases pueden contener espacios de diferente dimensión, la paridad de la dimensión es constante en una clase, por lo que rk: W ( k ) → Z / 2 Z es un homomorfismo . [4]
Los elementos de orden finito en el grupo de Witt tienen una potencia de 2; [5] [6] el subgrupo de torsión es el núcleo del mapa functorial de W ( k ) a W ( k py ), donde k py es la clausura pitagórica de k ; [7] es generado por los formularios de Pfister con una suma de cuadrados distinta de cero. [8] Si k no es formalmente real , entonces el grupo de Witt es torsión , con exponente una potencia de 2. [9] La altura del campo k es el exponente de la torsión en el grupo de Witt, si es finito, o ∞ de lo contrario. [8]
Estructura de anillo
Al grupo de Witt de k se le puede dar una estructura de anillo conmutativa , utilizando el producto tensorial de formas cuadráticas para definir el producto del anillo. Esto a veces se denomina anillo de Witt W ( k ), aunque el término "anillo de Witt" también se usa a menudo para un anillo de vectores de Witt completamente diferente .
Para discutir la estructura de este anillo asumimos que k es de característica no igual a 2, por lo que podemos identificar formas bilineales simétricas y formas cuadráticas.
El núcleo del homomorfismo de rango mod 2 es un ideal primo , I , del anillo de Witt [4] denominado ideal fundamental . [10] Los homomorfismos de anillo de W ( k ) a Z corresponden a los ordenamientos de campo de k , tomando la firma con respecto al ordenamiento. [10] El anillo Witt es un anillo de Jacobson . [9] Es un anillo noetheriano si y solo si hay un número finito de clases cuadradas ; es decir, si los cuadrados de k forman un subgrupo de índice finito en el grupo multiplicativo de k . [11]
Si k no es formalmente real, el ideal fundamental es el único ideal primo de W [12] y consiste precisamente en los elementos nilpotentes ; [9] W es un anillo local y tiene una dimensión de Krull 0. [13]
Si k es real, entonces los elementos nilpotentes son precisamente los de orden aditivo finito, y estos a su vez son las formas cuyas firmas son todas cero; [14] W tiene una dimensión Krull 1. [13]
Si k es un campo pitagórico real , entonces los divisores cero de W son los elementos para los cuales alguna firma es cero; de lo contrario, los divisores de cero son exactamente el ideal fundamental. [5] [15]
Si k es un campo ordenado con el cono positivo P entonces ley de la inercia de Sylvester se mantiene para las formas cuadráticas más de k y la firma define un homomorfismo de anillos de W ( k ) a Z , con el núcleo un ideal primo K P . Estos ideales primos están en biyección con los ordenamientos X k de k y constituyen el espectro ideal primo mínimo MinSpec W ( k ) de W ( k ). La biyección es un homeomorfismo entre MinSpec W ( k ) con la topología de Zariski y el conjunto de ordenamientos X k con la topología de Harrison . [dieciséis]
El n poder-ésimo del ideal fundamental se genera de forma aditiva por la n -fold formas Pfister . [17]
Ejemplos de
- El anillo de Witt de C , y de hecho cualquier cuerpo algebraicamente cerrado o campo cuadráticamente cerrado , es Z / 2 Z . [18]
- El anillo de Witt de R es Z . [18]
- El anillo de Witt de un campo finito F q con q impar es Z / 4 Z si q ≡ 3 mod 4 e isomorfo al anillo de grupo ( Z / 2 Z ) [ F * / F * 2 ] si q ≡ 1 mod 4. [19]
- El anillo de Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente a 1 módulo 4 es isomorfo al anillo de grupo ( Z / 2 Z ) [ V ] donde V es el grupo 4 de Klein . [20]
- El anillo de Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente con 3 módulo 4 es ( Z / 4 Z ) [ C 2 ] donde C 2 es un grupo cíclico de orden 2. [20]
- El anillo de Witt de Q 2 es de orden 32 y está dado por [21]
Invariantes
Ciertos invariantes de forma cuadrática pueden considerarse funciones en las clases de Witt. Hemos visto que la dimensión mod 2 es una función de las clases: el discriminante también está bien definido. El invariante de Hasse de una forma cuadrática es nuevamente una función bien definida en las clases de Witt con valores en el grupo Brauer del campo de definición. [22]
Rango y discriminante
Definimos un anillo sobre K , Q ( K ), como un conjunto de pares ( d , e ) con d en K * / K * 2 y e en Z / 2 Z . La suma y la multiplicación se definen por:
Entonces hay un homomorfismo de anillo suprayectivo de W ( K ) a este obtenido mapeando una clase al discriminante y rango mod 2. El núcleo es I 2 . [23] Los elementos de Q pueden ser considerados como clasificando graduada extensiones cuadráticas de K . [24]
Grupo Brauer – Wall
El triple de discriminante, rango mod 2 e invariante de Hasse define un mapa desde W ( K ) hasta el grupo Brauer-Wall BW ( K ). [25]
Anillo de Witt de un campo local
Deje que K sea un completo de campo local con la valoración v , π uniformiser y campo residuo k de característica no es igual a 2. Hay una inyección W ( k ) → W ( K ) que eleva la forma diagonal ⟨ un 1 , ... una n ⟩ a ⟨ u 1 , ... u n ⟩ donde u i es una unidad de K con imagen una i en k . Esto produce
identificando W ( k ) con su imagen en W ( K ). [26]
Anillo de Witt de un campo numérico
Sea K un campo numérico . Para formas cuadráticas sobre K , hay un invariante de Hasse ± 1 para cada lugar finito correspondiente a los símbolos de Hilbert . Los invariantes de un formulario sobre un campo numérico son precisamente la dimensión, el discriminante, todos los invariantes Hasse locales y las firmas que provienen de incrustaciones reales. [27]
Definimos el anillo de símbolo sobre K , Sym ( K ), como un conjunto de triples ( d , e , f ) con d en K * / K * 2 , e en Z / 2 yf una secuencia de elementos ± 1 indexados por los lugares de K , sujeto a la condición de que todos los términos de f , excepto un número finito, sean +1, que el valor de un lugar complejo sea +1 y que el producto de todos los términos de f en +1. Sea [ a , b ] la secuencia de símbolos de Hilbert: satisface las condiciones de f que acabamos de enunciar. [28]
Definimos la suma y la multiplicación de la siguiente manera:
Luego hay un homomorfismo de anillo suprayectivo de W ( K ) a Sym ( K ) obtenido al mapear una clase al discriminante, rango mod 2 y la secuencia de invariantes de Hasse. El núcleo es I 3 . [29]
El anillo de símbolo es una realización del grupo Brauer-Wall. [30]
Anillo de Witt de los racionales
El teorema de Hasse-Minkowski implica que hay una inyección [31]
Hacemos esto concreto, y calculamos la imagen, usando el "segundo homomorfismo de residuo" W ( Q p ) → W ( F p ). Compuesto con el mapa W ( Q ) → W ( Q p ) obtenemos un homomorfismo grupal ∂ p : W ( Q ) → W ( F p ) (para p = 2 definimos ∂ 2 como la valoración 2-ádica de la discriminante, tomado mod 2).
Entonces tenemos una secuencia exacta dividida [32]
que se puede escribir como un isomorfismo
donde el primer componente es la firma. [33]
El anillo de Witt y la teoría K de Milnor
Sea k un campo de característica no igual a 2. Los poderes del ideal I de formas de dimensión par ("ideal fundamental") enforman una filtración descendente y se puede considerar el anillo graduado asociado , que es la suma directa de cocientes. Dejar ser la forma cuadrática considerado como un elemento del anillo Witt. Luegoes un elemento de I y, en consecuencia, un producto de la forma
es un elemento de John Milnor en un artículo de 1970 [34] demostró que el mapeo de a que envía a es multilineal y mapea elementos de Steinberg (elementos tales que para algunos y tal que uno tiene ) a cero. Esto significa que este mapeo define un homomorfismo del anillo de Milnor de k al anillo graduado de Witt. Milnor demostró también que este homomorfismo envía elementos divisibles por 2 a cero y que es sobreyectiva. En el mismo artículo hizo una conjetura de que este homomorfismo es un isomorfismo para todos los campos k (de característica diferente de 2). Esto se conoció como la conjetura de Milnor sobre formas cuadráticas.
La conjetura fue probada por Dmitry Orlov, Alexander Vishik y Vladimir Voevodsky [35] en 1996 (publicado en 2007) para el caso, lo que lleva a una mayor comprensión de la estructura de las formas cuadráticas en campos arbitrarios.
Anillo Grothendieck-Witt
El anillo de Grothendieck-Witt GW es una construcción relacionada generada por clases de isometría de espacios cuadráticos no singulares con la suma dada por la suma ortogonal y la multiplicación dada por el producto tensorial. Dado que dos espacios que se diferencian por un plano hiperbólico no se identifican en GW , la inversa para la adición debe introducirse formalmente a través de la construcción que fue descubierta por Grothendieck (ver el grupo de Grothendieck ). Hay un homomorfismo natural GW → Z dado por dimensión: un campo se cierra cuadráticamente si y solo si se trata de un isomorfismo. [18] Los espacios hiperbólicos generan un ideal en GW y el anillo de Witt W es el cociente. [36] El poder exterior le da al anillo de Grothendieck-Witt la estructura adicional de un anillo λ . [37]
Ejemplos de
- El anillo Grothendieck-Witt de C , y de hecho cualquier cuerpo algebraicamente cerrado o campo cuadráticamente cerrado , es Z . [18]
- El anillo de Grothendieck-Witt de R es isomorfo al anillo de grupo Z [ C 2 ], donde C 2 es un grupo cíclico de orden 2. [18]
- El anillo de Grothendieck-Witt de cualquier campo finito de característica extraña es Z ⊕ Z / 2 Z con una multiplicación trivial en el segundo componente. [38] El elemento (1, 0) corresponde a la forma cuadrática ⟨ un ⟩ donde un no es un cuadrado en el campo finito.
- El anillo de Grothendieck-Witt de un campo local con ideal máximo de norma congruente a 1 módulo 4 es isomorfo a Z ⊕ ( Z / 2 Z ) 3 . [20]
- El anillo Grothendieck-Witt de un campo local con ideal maximal de congruente norma a 3 modulo 4 es Z' ⊕ Z / 4 Z ⊕ Z / 2 Z . [20]
Anillo de Grothendieck-Witt y grupos de esferas de homotopía estable motívica
Fabien Morel [39] [40] mostró que el anillo de Grothendieck-Witt de un campo perfecto es isomorfo al grupo de esferas de homotopía estable motívica π 0,0 (S 0,0 ) (ver " Teoría de homotopía A¹ ").
Equivalencia Witt
Se dice que dos campos son equivalentes de Witt si sus anillos de Witt son isomorfos.
Para los campos globales hay un principio de local a global: dos campos globales son equivalentes de Witt si y solo si hay una biyección entre sus lugares, de modo que los campos locales correspondientes son equivalentes de Witt. [41] En particular, dos campos numéricos K y L son Witt equivalentes si y solo si hay una biyección T entre los lugares de K y los lugares de L y un isomorfismo de grupo t entre sus grupos de clase cuadrada , conservando el grado 2 de Hilbert símbolos. En este caso, el par ( T , t ) se denomina equivalencia de reciprocidad o equivalencia de símbolo de Hilbert de grado 2 . [42] También se han estudiado algunas variaciones y extensiones de esta condición, como " equivalencia de símbolo de Hilbert grado l domesticado" . [43]
Generalizaciones
Los grupos de Witt también se pueden definir de la misma manera para formas simétricas sesgadas y para formas cuadráticas , y más generalmente formas ε-cuadráticas , sobre cualquier R de * -ring .
Los grupos resultantes (y generalizaciones de los mismos) se conocen como la incluso dimensiones simétrica L -Grupos L 2 k ( R ) e incluso dimensiones cuadrática L -Grupos L 2 k ( R ). Los grupos L cuadráticos son 4-periódicos, siendo L 0 ( R ) el grupo Witt de (1) formas cuadráticas (simétricas) y L 2 ( R ) el grupo Witt de formas (-1) cuadráticas ( simétrico sesgado); Los grupos L simétricos no son 4-periódicos para todos los anillos, por lo que proporcionan una generalización menos exacta.
Los grupos L son objetos centrales en la teoría de la cirugía y forman uno de los tres términos de la secuencia exacta de la cirugía .
Ver también
- Altura reducida de un campo
Notas
- ^ Milnor y Husemoller (1973) p. 14
- ^ Lorenz (2008) p. 30
- ^ Milnor y Husemoller (1973) p. sesenta y cinco
- ↑ a b Milnor y Husemoller (1973) p. 66
- ↑ a b Lorenz (2008) p. 37
- ^ Milnor y Husemoller (1973) p. 72
- ^ Lam (2005) p. 260
- ↑ a b Lam (2005) p. 395
- ↑ a b c Lorenz (2008) p. 35
- ↑ a b Lorenz (2008) p. 31
- ^ Lam (2005) p. 32
- ^ Lorenz (2008) p. 33
- ↑ a b Lam (2005) p. 280
- ^ Lorenz (2008) p. 36
- ^ Lam (2005) p. 282
- ^ Lam (2005) págs. 277-280
- ^ Lam (2005) p.316
- ↑ a b c d e Lam (2005) p. 34
- ^ Lam (2005) p.37
- ↑ a b c d Lam (2005) p.152
- ^ Lam (2005) p.166
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- ^ Conner y Perlis (1984) p.12
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Referencias
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Otras lecturas
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enlaces externos
- Witt suena en la enciclopedia Springer de matemáticas