En matemáticas , un campo cuadráticamente cerrado es un campo en el que cada elemento tiene una raíz cuadrada . [1] [2]
Ejemplos de
- El campo de los números complejos está cerrado cuadráticamente; de manera más general, cualquier campo algebraicamente cerrado es cuadráticamente cerrado.
- El campo de los números reales no está cerrado cuadráticamente ya que no contiene una raíz cuadrada de -1.
- La unión de los campos finitos para n ≥ 0 es cuadráticamente cerrado pero no algebraicamente cerrado. [3]
- El campo de los números construibles es cuadráticamente cerrado pero no algebraicamente cerrado. [4]
Propiedades
- Un campo se cierra cuadráticamente si y solo si tiene un invariante universal igual a 1.
- Cada campo cuadráticamente cerrado es un campo pitagórico pero no a la inversa (por ejemplo, R es pitagórico); sin embargo, todo campo pitagórico no formalmente real está cuadráticamente cerrado. [2]
- Un campo se cierra cuadráticamente si y sólo si su anillo de Witt-Grothendieck es isomorfo a Z bajo el mapeo de dimensiones. [3]
- Un campo euclidiano formalmente real E no está cuadráticamente cerrado (ya que −1 no es un cuadrado en E ) pero la extensión cuadrática E ( √ −1 ) está cuadráticamente cerrada. [4]
- Sea E / F una extensión finita donde E está cerrado cuadráticamente. O −1 es un cuadrado en F y F es cuadráticamente cerrado, o −1 no es un cuadrado en F y F es euclidiana. Este "teorema de descenso" puede deducirse del teorema de Diller-Dress . [5]
Cierre cuadrático
Un cierre cuadrática de un campo F es un campo cuadráticamente cerrado que contiene F que incrusta en cualquier campo cuadráticamente cerrado que contiene F . Un cierre cuadrático para cualquier F dado puede construirse como un subcampo del cierre algebraico F alg de F , como la unión de todas las extensiones cuadráticas iteradas de F en F alg . [4]
Ejemplos de
Referencias
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. Señor 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 171 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .