Ecuación cuadrática

En álgebra , una ecuación cuadrática (del latín quadratus para " cuadrado ") es cualquier ecuación que se puede reorganizar en forma estándar como

donde x representa una incógnita y a , b y c representan números conocidos, donde a ≠ 0 . Si a = 0 , entonces la ecuación es lineal , no cuadrática, ya que no hay término. Los números a , b y c son los coeficientes de la ecuación y pueden distinguirse llamándolos, respectivamente, coeficiente cuadrático , coeficiente lineal y término constante o libre . [1]

Los valores de x que satisfacen la ecuación se llaman soluciones de la ecuación y raíces o ceros de la expresión en su lado izquierdo. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones. Si solo hay una solución, se dice que es una raíz doble . Si todos los coeficientes son números reales , hay dos soluciones reales, o una sola raíz doble real, o dos soluciones complejas . Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, si se incluyen raíces complejas; y una raíz doble se cuenta por dos. Una ecuación cuadrática se puede factorizar en una ecuación equivalente

donde r y s son las soluciones para x . Completar el cuadrado de una ecuación cuadrática en forma estándar da como resultado la fórmula cuadrática , que expresa las soluciones en términos de a , b y c . Las soluciones a problemas que pueden expresarse en términos de ecuaciones cuadráticas se conocían desde el año 2000 a.

Debido a que la ecuación cuadrática involucra solo una incógnita, se llama " univariante ". La ecuación cuadrática contiene solo potencias de x que son números enteros no negativos y, por lo tanto, es una ecuación polinomial . En particular, es una ecuación polinomial de segundo grado , ya que la mayor potencia es dos.

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos tiene dos soluciones, llamadas raíces . Estas dos soluciones pueden o no ser distintas, y pueden o no ser reales.

Figura 1. Gráficas de la función cuadrática, y = eh x al cuadrado más bx más c, variando cada coeficiente por separado mientras que los otros coeficientes se fijan en valores eh = 1, b = 0, c = 0. La gráfica de la izquierda ilustra la variación de c. Cuando c es igual a 0, el vértice de la parábola que representa la función cuadrática está centrado en el origen y la parábola se eleva a ambos lados del origen, abriéndose hacia arriba. Cuando c es mayor que cero, la parábola no cambia de forma, pero su vértice se eleva por encima del origen. Cuando c es menor que cero, el vértice de la parábola desciende por debajo del origen. La gráfica central ilustra la variación de b. Cuando b es menor que cero, la parábola que representa la función cuadrática no cambia de forma, pero su vértice se desplaza a la derecha y debajo del origen. Cuando b es mayor que cero, su vértice se desplaza a la izquierda y debajo del origen. Los vértices de la familia de curvas creadas al variar b siguen una curva parabólica. La gráfica de la derecha ilustra la variación de eh. Cuando eh es positivo, la función cuadrática es una parábola que se abre hacia arriba. Cuando eh es cero, la función cuadrática es una línea recta horizontal. Cuando eh es negativo, la función cuadrática es una parábola que se abre hacia abajo.
Figura 1. Gráficas de la función cuadrática y = ax 2 + bx + c , variando cada coeficiente por separado mientras los otros coeficientes son fijos (en valores a  = 1, b  = 0, c  = 0)
La Figura 2 ilustra una gráfica xy de la función cuadrática f de x es igual a x al cuadrado menos x menos 2. La coordenada x de los puntos donde la gráfica interseca al eje x, x es igual a −1 y x es igual a 2, son las soluciones de la ecuación cuadrática x al cuadrado menos x menos 2 es igual a cero.
Figura 2. Para la función cuadrática y = x 2 − x − 2 , los puntos donde la gráfica cruza el eje x, x = −1 y x = 2 , son las soluciones de la ecuación cuadrática x 2 − x − 2 = 0 _
Figura 3. Esta figura traza tres funciones cuadráticas en un solo gráfico de plano cartesiano para ilustrar los efectos de los valores discriminantes. Cuando el discriminante, delta, es positivo, la parábola corta el eje x en dos puntos. Cuando delta es cero, el vértice de la parábola toca el eje x en un solo punto. Cuando delta es negativo, la parábola no interseca el eje x en absoluto.
Figura 3. Signos discriminantes
Gráfica de y = ax 2 + bx + c , donde a y el discriminante b 2 − 4 ac son positivos, con
  • Raíces e intersección y en rojo
  • Vértice y eje de simetría en azul .
  • Foco y directriz en rosa
Visualización de las raíces complejas de y = ax 2 + bx + c : la parábola se gira 180° sobre su vértice ( naranja ). Sus intersecciones x se giran 90° alrededor de su punto medio, y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo ( verde ). [11]
Figura 4. Cálculo con calculadora gráfica de una de las dos raíces de la ecuación cuadrática 2 x 2 + 4 x − 4 = 0 . Aunque la pantalla muestra solo cinco cifras significativas de precisión, el valor recuperado de xc es 0,732050807569, con una precisión de doce cifras significativas.
Una función cuadrática sin raíz real: y = ( x − 5) 2 + 9 . El "3" es la parte imaginaria de la intersección x . La parte real es la coordenada x del vértice. Por lo tanto, las raíces son 5 ± 3 i .
La trayectoria del saltador del acantilado es parabólica porque el desplazamiento horizontal es una función lineal del tiempo , mientras que el desplazamiento vertical es una función cuadrática del tiempo . Como resultado, la trayectoria sigue la ecuación cuadrática , donde y son los componentes horizontal y vertical de la velocidad original, a es la aceleración gravitacional yh es la altura original. El valor a debe considerarse negativo aquí, ya que su dirección (hacia abajo) es opuesta a la medida de la altura (hacia arriba).
Gráfico de la diferencia entre la aproximación de Vieta para la raíz más pequeña de la ecuación cuadrática x 2 + bx + c = 0 en comparación con el valor calculado mediante la fórmula cuadrática
Figura 6. Solución geométrica de ax 2 + bx + c = 0 usando el método de Lill. Las soluciones son −AX1/SA, −AX2/SA
Círculo de Carlyle de la ecuación cuadrática x 2  −  sx  +  p  = 0.