Quadric
En matemáticas, una superficie cuádrica o cuádrica ( hipersuperficie cuádrica en dimensiones superiores ), es una generalización de secciones cónicas ( elipses , parábolas e hipérbolas ). Es una hipersuperficie (de dimensión D ) en un espacio ( D + 1) -dimensional, y se define como el conjunto cero de un polinomio irreducible de grado dos en variables D + 1 ( D = 1en el caso de secciones cónicas). Cuando el polinomio definitorio no es absolutamente irreductible , el conjunto de ceros generalmente no se considera un cuádrico, aunque a menudo se lo llama un cuádrico degenerado o un cuádrico reducible .
donde x = ( x 1 , x 2 , ..., x D +1 ) es un vector de fila , x T es la transpuesta de x (un vector de columna), Q es a ( D + 1) × ( D + 1 ) matriz y P es un vector de fila dimensional ( D + 1) y R una constante escalar. Los valores Q , P y R a menudo se consideran superioresnúmeros reales o números complejos , pero se puede definir una cuadrática en cualquier campo .
Un cuádrico es una variedad algebraica afín o, si es reducible, un conjunto algebraico afín . Las cuadrículas también se pueden definir en espacios proyectivos ; ver § Geometría proyectiva , más abajo.
Como la dimensión de un plano euclidiano es dos, las cuadrículas en un plano euclidiano tienen dimensión uno y, por lo tanto, son curvas planas . Se llaman secciones cónicas o cónicas .
En el espacio euclidiano tridimensional , las cuadrículas tienen dimensión D = 2 y se conocen como superficies cuadráticas . Se clasifican y nombran por sus órbitas bajo transformaciones afines . Más precisamente, si una transformación afín mapea una cuadrática sobre otra, pertenecen a la misma clase y comparten el mismo nombre y muchas propiedades.
El teorema del eje principal muestra que para cualquier cuadrático (posiblemente reducible), una transformación euclidiana adecuada o un cambio de coordenadas cartesianas permite poner la ecuación cuadrática del cuadrático en una de las siguientes formas normales:
