En álgebra lineal y análisis funcional , la traza parcial es una generalización de la traza . Mientras que la traza es una función con valor escalar en operadores, la traza parcial es una función con valor de operador . La traza parcial tiene aplicaciones en información cuántica y decoherencia que es relevante para la medición cuántica y, por lo tanto, para los enfoques decoherentes de las interpretaciones de la mecánica cuántica , incluidas las historias consistentes y la interpretación del estado relativo .
Detalles
Suponer , son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo , con dimensiones y , respectivamente. Para cualquier espacio, dejar denotar el espacio de operadores lineales en. El rastro parcial sobre luego se escribe como .
Se define de la siguiente manera: Para , dejar , y , ser bases para V y W respectivamente; entonces T tiene una representación matricial
relativo a la base de .
Ahora, para los índices k , i en el rango 1, ..., m , considere la suma
Esto da una matriz b k , i . El operador lineal asociado en V es independiente de la elección de las bases y es, por definición, la traza parcial .
Entre los físicos, esto a menudo se llama "rastrear" o "rastrear" W para dejar solo un operador en V en el contexto donde W y V son espacios de Hilbert asociados con sistemas cuánticos (ver más abajo).
Definición invariante
El operador de traza parcial se puede definir invariablemente (es decir, sin referencia a una base) de la siguiente manera: es el operador lineal único
tal que
Para ver que las condiciones anteriores determinan la traza parcial de manera única, dejemos formar una base para , dejar formar una base para , dejar ser el mapa que envía a (y todos los demás elementos base a cero), y deje ser el mapa que envía a . Dado que los vectores formar una base para , los mapas formar una base para .
De esta definición abstracta, se siguen las siguientes propiedades:
Noción de teoría de categorías
Es el rastro parcial de las transformaciones lineales que es el tema de la noción de Joyal, Street y Verity de categoría monoidal trazada . Una categoría monoidal rastreada es una categoría monoidal.junto con, para los objetos X, Y, U en la categoría, una función de Hom-sets,
satisfaciendo ciertos axiomas.
Otro caso de esta noción abstracta de traza parcial tiene lugar en la categoría de conjuntos finitos y biyecciones entre ellos, en los que el producto monoidal es la unión disjunta. Se puede demostrar que para cualquier conjunto finito, X, Y, U y biyección existe una biyección "parcialmente rastreada" correspondiente .
Seguimiento parcial para operadores en espacios de Hilbert
La traza parcial se generaliza a operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Suponga que V , W son espacios de Hilbert y sea
ser una base ortonormal de W . Ahora hay un isomorfismo isométrico
Bajo esta descomposición, cualquier operador puede considerarse como una matriz infinita de operadores en V
dónde .
Primero suponga que T es un operador no negativo. En este caso, todas las entradas diagonales de la matriz anteriormente son los operadores no negativos en V . Si la suma
converge en la topología fuerte operador de L ( V ), que es independiente de la base elegida de W . La traza parcial Tr W ( T ) se define como este operador. La traza parcial de un operador autoadjunto se define si y solo si se definen las trazas parciales de las partes positivas y negativas.
Calcular la traza parcial
Supongamos que W tiene una base ortonormal, que denotamos por KET notación vectorial como. Luego
Los superíndices entre paréntesis no representan componentes de la matriz, sino que etiquetan la matriz en sí.
Traza parcial e integración invariante
En el caso de espacios de Hilbert de dimensión finita, no es una forma útil de ver la traza parcial implica la integración con respecto a una medida de Haar μ adecuadamente normalizado sobre el grupo unitario U ( W ) de W . Adecuadamente normalizado significa que μ se toma como una medida con la masa total dim ( W ).
Teorema . Suponga que V , W son espacios de Hilbert de dimensión finita. Luego
conmuta con todos los operadores del formulario y por lo tanto es únicamente de la forma . El operador R es la traza parcial de T .
Traza parcial como operación cuántica
La traza parcial puede verse como una operación cuántica . Considere un sistema de mecánica cuántica cuyo espacio de estados es el producto tensorialde los espacios de Hilbert. Un estado mixto se describe mediante una matriz de densidad ρ, que es un operador de clase de traza no negativo de la traza 1 en el producto tensorialLa traza parcial de ρ con respecto al sistema B , denotado por, Se llama el estado reducido del ρ en el sistema A . En símbolos,
Para mostrar que esta es de hecho una forma sensata de asignar un estado en el subsistema A a ρ, ofrecemos la siguiente justificación. Sea M un observable en el subsistema A , entonces el observable correspondiente en el sistema compuesto es. Sin embargo, se elige definir un estado reducido, debe haber coherencia en las estadísticas de medición. El valor esperado de M después de que el subsistema A se prepara en y el de cuando el sistema compuesto se prepara en ρ debería ser el mismo, es decir, debería cumplirse la siguiente igualdad:
Vemos que esto se satisface si es como se definió anteriormente a través de la traza parcial. Además, dicha operación es única.
Deje T (H) sea el espacio de Banach de los operadores de clase rastro en el espacio de Hilbert H . Se puede comprobar fácilmente que la traza parcial, vista como un mapa
es completamente positivo y conserva los rastros.
El mapa de seguimiento parcial como se indica arriba induce un mapa dual entre las C * -álgebras de operadores acotados en y dada por
asigna observables a observables y es la representación de imagen de Heisenberg de.
Comparación con el caso clásico
Suponga que en lugar de sistemas de mecánica cuántica, los dos sistemas A y B son clásicos. El espacio de observables para cada sistema son entonces abelianas C * -álgebras. Estos son de la forma C ( X ) y C ( Y ), respectivamente, para espacios compactos X , Y . El espacio de estado del sistema compuesto es simplemente
Un estado en el sistema compuesto es un ρ elemento positivo del doble de C ( X × Y ), que por el Riesz-Markov teorema corresponde a una medida regular de Borel en X × Y . El estado reducido correspondiente se obtiene mediante la proyección de la ρ medida para X . Por tanto, la traza parcial es el equivalente mecánico cuántico de esta operación.