En óptica cuántica , un espacio de fase óptico es un espacio de fase en el que se describen todos los estados cuánticos de un sistema óptico . Cada punto del espacio de fase óptica corresponde a un estado único de un sistema óptico . Para cualquier sistema de este tipo, una gráfica de las cuadraturas entre sí, posiblemente como funciones del tiempo, se denomina diagrama de fase . Si las cuadraturas son funciones del tiempo, entonces el diagrama de fase óptico puede mostrar la evolución de un sistema óptico cuántico con el tiempo.
Diagrama de fase óptica de la distribución de un estado coherente en el espacio de fase.
Un diagrama de fase óptico puede dar una idea de las propiedades y comportamientos del sistema que de otro modo no serían obvios. Esto puede aludir a cualidades del sistema que pueden ser de interés para un individuo que estudia un sistema óptico que sería muy difícil de deducir de otra manera. Otro uso de un diagrama de fase óptico es que muestra la evolución del estado de un sistema óptico. Esto se puede utilizar para determinar el estado del sistema óptico en cualquier momento.
Cuando se habla de la teoría cuántica de la luz, es muy común utilizar un oscilador electromagnético como modelo. [1] Un oscilador electromagnético describe una oscilación del campo eléctrico. Dado que el campo magnético es proporcional a la tasa de cambio del campo eléctrico, este también oscila. Tales oscilaciones describen la luz. Los sistemas compuestos por tales osciladores pueden describirse mediante un espacio de fase óptico.
Sea u ( x , t) una función vectorial que describe un solo modo de un oscilador electromagnético . Por simplicidad, se supone que este oscilador electromagnético está en el vacío. Un ejemplo es la onda plana dada por
donde u 0 es el vector de polarización , k es el vector de onda ,la frecuencia, y AB denota el producto escalar entre el vectores A y B . Esta es la ecuación para una onda plana y es un ejemplo simple de tal oscilador electromagnético. Los osciladores que se examinan podrían ser ondas libres en el espacio o algún modo normal contenido en alguna cavidad.
Un solo modo del oscilador electromagnético se aísla del resto del sistema y se examina. Un oscilador de este tipo, cuando se cuantifica, se describe mediante las matemáticas de un oscilador armónico cuántico . [1] Los osciladores cuánticos se describen mediante operadores de creación y aniquilación. y . Las cantidades físicas, como la intensidad del campo eléctrico , se convierten en operadores cuánticos .
Para distinguir una cantidad física del operador mecánico cuántico que se usa para describirla, se usa un "sombrero" sobre los símbolos del operador. Así, por ejemplo, dondepodría representar (un componente de) el campo eléctrico , el símbolo denota el operador mecánico-cuántico que describe . Esta convención se utiliza a lo largo de este artículo, pero no es de uso común en textos más avanzados, que evitan el sombrero, ya que simplemente abarrotan el texto.
En el modo de oscilador cuántico, la mayoría de los operadores que representan cantidades físicas se expresan típicamente en términos de los operadores de creación y aniquilación. En este ejemplo, la intensidad del campo eléctrico viene dada por:
- [2]
(donde x i es un solo componente de x , posición). El hamiltoniano para un oscilador electromagnético se encuentra cuantificando el campo electromagnético para este oscilador y la fórmula viene dada por:
- [2]
dónde es la frecuencia del modo (espacio-temporal). El operador de aniquilación es el operador de aniquilación bosónico y por lo tanto obedece a la relación de conmutación canónica dada por:
Los estados propios del operador de aniquilación se denominan estados coherentes :
Es importante señalar que el operador de aniquilación no es hermitiano ; por lo tanto sus valores propiospuede ser complejo. Esto tiene importantes consecuencias.
Finalmente, el número de fotones lo da el operador.que da el número de fotones en el modo dado (espacio-temporal) u .
Operadores dados por
y
se llaman cuadraturas y representan las partes real e imaginaria de la amplitud compleja representada por. [1] La relación de conmutación entre las dos cuadraturas se puede calcular fácilmente:
Esto se parece mucho a la relación de conmutación del operador de posición y momento. Por lo tanto, puede ser útil pensar y tratar las cuadraturas como la posición y el momento del oscilador, aunque en realidad son los "componentes en fase y fuera de fase de la amplitud del campo eléctrico del modo espacio-temporal". , o u , y no tienen nada que ver realmente con la posición o el momento del oscilador electromagnético (ya que es difícil definir qué se entiende por posición y momento de un oscilador electromagnético). [1]
Propiedades de las cuadraturas
Los autoestados de los operadores de cuadratura y se llaman estados de cuadratura. Satisfacen las relaciones:
- y
- y
- y
ya que estos forman conjuntos de bases completos .
Resultado importante
La siguiente es una relación importante que se puede derivar de lo anterior que justifica nuestra interpretación de que las cuadraturas son las partes real e imaginaria de un complejo. (es decir, los componentes en fase y fuera de fase del oscilador electromagnético)
La siguiente es una relación que puede usarse para ayudar a evaluar lo anterior y viene dada por:
- [1]
Esto nos da que:
- por un método similar al anterior.
Por lo tanto, es solo una composición de las cuadraturas.
Otra propiedad muy importante de los estados coherentes se hace evidente en este formalismo. Un estado coherente no es un punto en el espacio de fase óptica sino más bien una distribución en él. Esto se puede ver a través de
y
- .
Estos son solo los valores esperados de y para el estado .
Se puede demostrar que las cuadraturas obedecen al principio de incertidumbre de Heisenberg dado por:
- [1] (donde y son las varianzas de las distribuciones de qyp, respectivamente)
Esta desigualdad no tiene que estar necesariamente saturada y un ejemplo común de tales estados son los estados coherentes comprimidos . Los estados coherentes son distribuciones de probabilidad gaussianas sobre el espacio de fase localizado alrededor.
Es posible definir operadores para mover los estados coherentes alrededor del espacio de fase. Estos pueden producir nuevos estados coherentes y permitirnos movernos por el espacio de fase.
Operador de cambio de fase
Operador de cambio de fase que actúa en un estado coherente girándolo en un ángulo
en el espacio de fase.
El operador de cambio de fase rota el estado coherente en un ángulo en el espacio de fase óptica. Este operador viene dado por:
- [1]
La relación importante
se deriva de la siguiente manera:
y resolver esta ecuación diferencial produce el resultado deseado.
Por lo tanto, al usar lo anterior, queda claro que
- ,
o una rotación en un ángulo theta sobre el estado coherente en el espacio de fase. Lo siguiente ilustra esto con mayor claridad:
(que se obtiene utilizando el hecho de que el operador de cambio de fase es unitario
Por lo tanto,
es el par propio de
- .
De esto es posible ver que
que es otra forma de expresar el par propio que ilustra más claramente los efectos del operador de desplazamiento de fase en estados coherentes.
Operador de desplazamiento
Operador de desplazamiento que actúa sobre un estado coherente desplazándolo por algún valor
en el espacio de fase.
El operador de desplazamiento es un operador unitario que toma un estado coherente y lo convierte en otro estado coherente. El operador de desplazamiento viene dado por
y su nombre proviene de una relación importante
- .
De hecho, introduzcamos temporalmente con real y considera como varía cuando cambia de 0 a 1. Diferenciando con respecto a , encontramos
así que eso
Dado que los estados coherentes son estados propios tanto del operador de aniquilación como del operador de multiplicación por un número, es fácil ver que, de hecho, el operador de desplazamiento mueve los estados coherentes o, más precisamente,
De hecho, la relación derivada anteriormente se puede reescribir como , luego
Por lo tanto, es un estado propio del operador de aniquilación con el valor propio , por eso .
En particular,
lo que lleva a
- .
Esto es importante ya que muestra que todos los estados coherentes pueden obtenerse como desplazamientos del estado fundamental , que en óptica también es el estado de vacío .