Cuaternio

En matemáticas , el sistema numérico de cuaterniones amplía los números complejos . Los cuaterniones fueron descritos por primera vez por el matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1843 ^{[1] [2]} y se aplicaron a la mecánica en el espacio tridimensional . Hamilton definió un cuaternión como el cociente de dos líneas dirigidas en un espacio tridimensional, ^[3] o, de manera equivalente, como el cociente de dos vectores . ^[4] La multiplicación de cuaterniones no es conmutativa .

Los cuaterniones se usan en matemáticas puras , pero también tienen usos prácticos en matemáticas aplicadas , particularmente para cálculos que involucran rotaciones tridimensionales , como gráficos tridimensionales por computadora , visión por computadora y análisis de texturas cristalográficas . ^[5] Se pueden utilizar junto con otros métodos de rotación, como los ángulos de Euler y las matrices de rotación , o como una alternativa a ellos, según la aplicación.

En el lenguaje matemático moderno , los cuaterniones forman un álgebra de división normada asociativa de cuatro dimensiones sobre los números reales y, por lo tanto, también un dominio . El álgebra de cuaterniones a menudo se denota por H (por Hamilton ), o en negrita en pizarra por También se puede dar por las clasificaciones de álgebra de Clifford . De hecho, fue la primera división de álgebra no conmutativa que se descubrió. ${\ estilo de visualización \ mathbb {H}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ).}$

Según el teorema de Frobenius , el álgebra es uno de los dos únicos anillos de división de dimensión finita que contienen un subanillo propio isomorfo a los números reales; el otro son los números complejos. Estos anillos también son álgebras euclidianas de Hurwitz , de las cuales los cuaterniones son el álgebra asociativa más grande . La extensión adicional de los cuaterniones produce los octoniones no asociativos , que es la última división normada del álgebra sobre los números reales. (Los sedeniones , la extensión de los octoniones, tienen divisores cero y, por lo tanto, no pueden ser un álgebra de división normada). ^[6]${\ estilo de visualización \ mathbb {H}}$

Los cuaterniones unitarios pueden considerarse como una elección de una estructura de grupo en la 3 esfera S ³ que da el grupo Spin(3) , que es isomorfo a SU(2) y también a la cubierta universal de SO(3) .

Los cuaterniones fueron introducidos por Hamilton en 1843. ^[7] Importantes precursores de este trabajo incluyeron la identidad de cuatro cuadrados de Euler (1748) y la parametrización de las rotaciones generales por cuatro parámetros de Olinde Rodrigues (1840), pero ninguno de estos escritores trató la identidad de cuatro parámetros. rotaciones como un álgebra. ^{[8] [9]} Carl Friedrich Gauss también había descubierto cuaterniones en 1819, pero este trabajo no se publicó hasta 1900. ^{[10] [11]}