En álgebra abstracta , la dimensión cohomológica es una invariante de un grupo que mide la complejidad homológica de sus representaciones. Tiene aplicaciones importantes en la teoría de grupos geométricos , topología y teoría de números algebraicos .
Dimensión cohomológica de un grupo
Como la mayoría de los invariantes cohomológicos, la dimensión cohomológica implica la elección de un "anillo de coeficientes" R , con un caso especial prominente dado por R = Z , el anillo de números enteros . Sea G un grupo discreto , R un anillo distinto de cero con una unidad y RG el anillo de grupo . El grupo G tiene dimensión cohomológico menos de o igual a n , denotada cd R ( G ) ≤ n , si el trivial RG -module R tiene una resolución proyectiva de longitud n , es decir, no son proyectiva RG -modules P 0 , ... , Homomorfismos de módulo P n y RG d k : P kP k - 1 ( k = 1, ..., n ) yd 0 : P 0R , tal que la imagen de d k coincide con el núcleo de d k - 1 para k = 1, ..., n y el núcleo de d n es trivial.
De manera equivalente, la dimensión cohomológico es menor que o igual a n si por un arbitraria RG -módulo M , el cohomology de G con coeficientes en M desvanece en grados k > n , es decir, H k ( G , M ) = 0 cuando k > n . La p -dimensión cohomológica para el primo p se define de manera similar en términos de los p -grupos de torsión H k ( G , M ) { p }. [1]
El n más pequeño, tal que la dimensión cohomológica de G es menor o igual que n, es la dimensión cohomológica de G (con coeficientes R ), que se denota.
Una resolución libre de pueden obtenerse a partir de una acción libre del grupo G en un espacio contráctil topológico X . En particular, si X es un complejo CW contráctil de dimensión n con una acción libre de un grupo discreto G que permuta las celdas, entonces.
Ejemplos de
En el primer grupo de ejemplos, sea el anillo R de coeficientes.
- Un grupo libre tiene una dimensión cohomológica. Como lo muestran John Stallings (para grupo generado de forma finita) y Richard Swan (en total generalidad), esta propiedad caracteriza a los grupos libres. Este resultado se conoce como el teorema de Stallings-Swan. [2] El teorema de Stallings-Swan para un grupo G dice que G es libre si y solo si cada extensión de G con kernel abeliano se divide. [3]
- El grupo fundamental de una superficie de Riemann compacta , conectada y orientable que no sea la esfera tiene una dimensión cohomológica dos.
- De manera más general, el grupo fundamental de una variedad asférica orientable, cerrada y conectada de dimensión n tiene dimensión cohomológica n . En particular, el grupo fundamental de un colector n hiperbólico orientable cerrado tiene dimensión cohomológica n .
- Los grupos finitos no triviales tienen una dimensión cohomológica infinita sobre. De manera más general, lo mismo es cierto para los grupos con torsión no trivial .
Consideremos ahora el caso de un anillo en general R .
- Un grupo G tiene dimensión cohomológica 0 si y solo si su anillo de grupo RG es semisimple . Así, un grupo finito tiene dimensión cohomológico 0 si y sólo si su orden (o, equivalentemente, las órdenes de sus elementos) es invertible en R .
- Generalizando el teorema de Stallings-Swan para , Martin Dunwoody demostrado que un grupo tiene dimensión cohomológico a lo más una sobre un anillo arbitrario R si y sólo si es el grupo fundamental de un conectado gráfico de grupos finitos cuyas órdenes son invertible en R .
Dimensión cohomológica de un campo
El p dimensión -cohomological de un campo K es la p dimensión -cohomological del grupo de Galois de un cierre separable de K . [4] La dimensión cohomológica de K es el supremo de la p -dimensión cohomológica sobre todos los primos p . [5]
Ejemplos de
- Cada campo de característica p distinta de cero tiene una dimensión p -cohomológica como máximo 1. [6]
- Cada campo finito tiene un grupo de Galois absoluto isomorfo ay también la dimensión cohomológica 1. [7]
- El campo de la serie Laurent formal sobre un campo algebraicamente cerrado k de característica distinta de cero también tiene un grupo de Galois absoluto isomórfico ay así dimensión cohomológica 1. [7]
Ver también
- Conjetura de Eilenberg-Ganea
- Cohomología grupal
- Dimensión global
Referencias
- ^ Gille y Szamuely (2006) p.136
- ^ Baumslag, Gilbert (2012). Temas de la teoría combinatoria de grupos . Springer Basel AG. pag. dieciséis.
- ^ Gruenberg, Karl W. (1975). "Revisión de homología en teoría de grupos por Urs Stammbach" . Boletín de la American Mathematical Society . 81 : 851–854. doi : 10.1090 / S0002-9904-1975-13858-4 .
- ^ Shatz (1972) p.94
- ^ Gille y Szamuely (2006) p.138
- ^ Gille y Szamuely (2006) p.139
- ↑ a b Gille y Szamuely (2006) p.140
- Brown, Kenneth S. (1994). Cohomología de grupos . Textos de Posgrado en Matemáticas . 87 (Reimpresión corregida de la edición original de 1982). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90688-6. Señor 1324339 . Zbl 0584.20036 .
- Pollas, Warren (1980). Grupos, árboles y módulos proyectivos . Apuntes de clase en matemáticas. 790 . Berlín: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / BFb0088140 . ISBN 3-540-09974-3. Señor 0584790 . Zbl 0427.20016 .
- Dydak, Jerzy (2002). "Teoría de la dimensión cohomológica". En Daverman, RJ (ed.). Manual de topología geométrica . Amsterdam: Holanda Septentrional . págs. 423–470. ISBN 0-444-82432-4. Señor 1886675 . Zbl 0992.55001 .
- Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras simples centrales y cohomología de Galois . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 101 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 .
- Serre, Jean-Pierre (1997). Cohomología de Galois . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61990-9. Zbl 0902.12004 .
- Shatz, Stephen S. (1972). Grupos profesionales, aritmética y geometría . Anales de estudios matemáticos. 67 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-08017-8. Señor 0347778 . Zbl 0236.12002 .
- Stallings, John R. (1968). "Sobre grupos libres de torsión con infinitos extremos". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 88 : 312–334. doi : 10.2307 / 1970577 . ISSN 0003-486X . Señor 0228573 . Zbl 0238.20036 .
- Swan, Richard G. (1969). "Grupos de dimensión cohomológica uno". Revista de álgebra . 12 : 585–610. doi : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90030-1 . ISSN 0021-8693 . Señor 0240177 . Zbl 0188.07001 .