En matemáticas , una superficie elíptica es una superficie que tiene una fibración elíptica, en otras palabras, un morfismo propio con fibras conectadas a una curva algebraica tal que casi todas las fibras son curvas suaves de género 1. (Sobre un campo algebraicamente cerrado como el complejo números, estas fibras son curvas elípticas , quizás sin un origen elegido.) Esto es equivalente a que la fibra genérica sea una curva suave de género uno. Esto se sigue del cambio de base apropiado .
Se supone que la superficie y la curva base no son singulares ( variedades complejas o esquemas regulares , según el contexto). Las fibras que no son curvas elípticas se denominan fibras singulares y fueron clasificadas por Kunihiko Kodaira . Tanto las fibras elípticas como las singulares son importantes en la teoría de cuerdas , especialmente en la teoría F.
Las superficies elípticas forman una gran clase de superficies que contiene muchos de los ejemplos interesantes de superficies, y se entienden relativamente bien en las teorías de variedades complejas y 4-variedades suaves . Son similares a (es decir, tienen analogías con) curvas elípticas sobre campos numéricos .
La mayoría de las fibras de una fibración elíptica son curvas elípticas (no singulares). Las fibras restantes se denominan fibras singulares: hay un número finito de ellas y consisten en uniones de curvas racionales, posiblemente con singularidades o multiplicidades distintas de cero (por lo que las fibras pueden ser esquemas no reducidos). Kodaira y Néron clasificaron de forma independiente las posibles fibras, y el algoritmo de Tate se puede utilizar para encontrar el tipo de fibras de una curva elíptica sobre un campo numérico.
La siguiente tabla enumera las posibles fibras de una fibración elíptica mínima . ("Mínimo" significa aproximadamente uno que no se puede factorizar a través de uno "más pequeño"; precisamente, las fibras singulares no deben contener curvas racionales suaves con el número de auto-intersección −1). Da:
Esta tabla se puede encontrar de la siguiente manera. Los argumentos geométricos muestran que la matriz de intersección de los componentes de la fibra debe ser semidefinida negativa, conexa, simétrica y no tener entradas diagonales iguales a −1 (por minimalidad). Dicha matriz debe ser 0 o un múltiplo de la matriz de Cartan de un diagrama de Dynkin afín de tipo ADE .