Cuasicírculo

En matemáticas , un cuasicírculo es una curva de Jordan en el plano complejo que es la imagen de un círculo bajo un mapeo cuasiconformal del plano sobre sí mismo. Inicialmente introducidas de forma independiente por Pfluger (1961) y Tienari (1962) , en la literatura más antigua (en alemán) se las denominaba curvas cuasiconformales , una terminología que también se aplicaba a los arcos . ^{[1] [2]} En el análisis complejo y la teoría de funciones geométricas , los cuasicírculos juegan un papel fundamental en la descripción del espacio universal de Teichmüller , a través de homeomorfismos cuasimétricos del círculo. Los cuasicírculos también juegan un papel importante en sistemas dinámicos complejos .

Definiciones

Un cuasicírculo se define como la imagen de un círculo bajo un mapeo cuasiconformal del plano complejo extendido . Se llama K -quasicircle si el mapeo cuasiconformes tiene una dilatación K . La definición de cuasicírculo generaliza la caracterización de una curva de Jordan como la imagen de un círculo bajo un homeomorfismo del plano. En particular, un cuasicírculo es una curva de Jordan. El interior de un cuasicírculo se llama quasidisco . ^[3]

Como se muestra en Lehto y Virtanen (1973) , donde se usa el término más antiguo "curva cuasiconformal", si una curva de Jordan es la imagen de un círculo debajo de un mapa cuasiconformal en una vecindad de la curva, entonces también es la imagen de una curva. círculo bajo un mapeo cuasiconformal del plano extendido y, por lo tanto, un cuasicírculo. Lo mismo es cierto para los "arcos cuasiconformales" que pueden definirse como imágenes cuasiconformales de un arco circular en un conjunto abierto o de manera equivalente en el plano extendido. ^[4]

Caracterizaciones geométricas

Ahlfors (1963) dio una caracterización geométrica de los cuasicírculos como aquellas curvas de Jordan para las cuales el valor absoluto de la relación cruzada de cuatro puntos cualesquiera, tomado en orden cíclico, está acotado por debajo por una constante positiva.

Ahlfors también demostró que los cuasicírculos se pueden caracterizar en términos de una desigualdad de triángulo inverso para tres puntos: debe haber una constante C tal que si se eligen dos puntos z ₁ y z ₂ en la curva y z _{3 se} encuentra en el más corto de los resultados arcos, luego ^[5]

${\displaystyle |z_{1}-z_{3}|+|z_{2}-z_{3}|\leq C|z_{1}-z_{2}|.}$

Esta propiedad también se denomina giro acotado ^[6] o condición de arco . ^[7]

Para las curvas de Jordan en el plano extendido que pasa por ∞, Ahlfors (1966) dio una condición necesaria y suficiente más simple para ser un cuasicírculo. ^{[8] [9]} Hay una constante C > 0 tal que si z ₁ , z ₂ son puntos en la curva y z _{3 se} encuentra en el segmento entre ellos, entonces

${\displaystyle \displaystyle {\left|z_{3}-{z_{1}+z_{2} \over 2}\right|\leq C|z_{1}-z_{2}|.}}$

Estas caracterizaciones métricas implican que un arco o curva cerrada es cuasiconformal siempre que surge como la imagen de un intervalo o el círculo debajo de un mapa bi-Lipschitz f , es decir, satisfaciendo

${\displaystyle C_{1}|s-t|\leq |f(s)-f(t)|\leq C_{2}|s-t|}$

para constantes positivas C _i . ^[10]

Cuasicírculos y homeomorfismos cuasimétricos

Si φ es un homeomorfismo cuasimétrico del círculo, entonces hay mapas conformes f de [ z | <1 y g de | z |> 1 en regiones disjuntas de tal manera que el complemento de las imágenes de f y g es una curva de Jordan. Los mapas de f y g se extienden continuamente al círculo | z | = 1 y la ecuación de costura

${\displaystyle \varphi =g^{-1}\circ f}$

sostiene. La imagen del círculo es un cuasicírculo.

Por el contrario, usando el teorema de la aplicación Riemann , la conformal mapas de f y g uniformizar el exterior de un dan lugar quasicircle a un homeomorfismo quasisymmetric a través de la ecuación anterior.

El espacio cociente del grupo de homeomorfismos cuasimétricos por el subgrupo de transformaciones de Möbius proporciona un modelo de espacio universal de Teichmüller . La correspondencia anterior muestra que el espacio de los cuasicírculos también se puede tomar como modelo. ^[11]

Reflexión cuasiconformal

Una reflexión cuasiconformal en una curva de Jordan es un mapa cuasiconformal de inversión de orientación del período 2 que cambia el interior y el exterior de los puntos de fijación de la curva en la curva. Desde el mapa

${\displaystyle \displaystyle {R_{0}(z)={1 \over {\overline {z}}}}}$

proporciona tal reflexión para el círculo unitario, cualquier cuasicírculo admite una reflexión cuasiconformal. Ahlfors (1963) demostró que esta propiedad caracteriza a los cuasicírculos.

Ahlfors señalaron que este resultado se puede aplicar a uniformemente delimitadas holomorphic funciones univalentes f ( z ) en el disco unidad D . Sea Ω = f ( D ). Como Carathéodory había demostrado usando su teoría de los extremos primos , f se extiende continuamente al círculo unitario si y solo si ∂Ω está conectado localmente, es decir, admite una cubierta por un número finito de conjuntos conectados compactos de diámetro arbitrariamente pequeño. La extensión del círculo es 1-1 si y solo si ∂Ω no tiene puntos de corte, es decir, puntos que cuando se eliminan de ∂Ω producen un conjunto desconectado. Teorema de Carathéodorymuestra que un conjunto local sin puntos de corte es solo una curva de Jordan y que, precisamente en este caso, la extensión de f al disco unitario cerrado es un homeomorfismo. ^[12] Si f se extiende a un mapeo cuasiconformal del plano complejo extendido, entonces ∂Ω es por definición un cuasicírculo. Por el contrario, Ahlfors (1963) observó que si ∂Ω es un cuasicírculo y R ₁ denota la reflexión cuasiconformal en ∂Ω, entonces la asignación

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=R_{1}fR_{0}(z)}}$

para | z | > 1 define una extensión cuasiconformal de f al plano complejo extendido.

Sistemas dinámicos complejos

Copo de nieve de Koch

Se sabía que los cuasicírculos surgían como los conjuntos de Julia de mapas racionales R ( z ). Sullivan (1985) demostró que si el conjunto de Fatou de R tiene dos componentes y la acción de R sobre el conjunto de Julia es "hiperbólica", es decir, hay constantes c > 0 y A > 1 tales que

${\displaystyle |\partial _{z}R^{n}(z)|\geq cA^{n}}$

en el set de Julia, entonces el set de Julia es un cuasicírculo. ^[5]

Hay muchos ejemplos: ^{[13] [14]}

• polinomios cuadráticos R ( z ) = z ² + c con un punto fijo atrayente
• el conejo Douady ( c = –0,122561 + 0,744862i, donde c ³ + 2 c ² + c + 1 = 0)
• polinomios cuadráticos z ² + λ z con | λ | <1
• el copo de nieve de Koch

Grupos cuasi-fucsios

Los grupos cuasi-fucsianos se obtienen como deformaciones cuasiconformales de grupos fucsianos . Por definición, sus conjuntos de límites son cuasicírculos. ^{[15] [16] [17] [18] [19]}

Sea Γ un grupo fucsiano del primer tipo: un subgrupo discreto del grupo de Möbius que conserva el círculo unitario. actuando correctamente de forma discontinua sobre el disco unitario D y con límite establecer el círculo unitario.

Sea μ ( z ) una función medible en D con

${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$

tal que μ es Γ-invariante, es decir

${\displaystyle \mu (g(z)){{\overline {\partial _{z}g(z)}} \over \partial _{z}g(z)}=\mu (z)}$

por cada g en Γ. (μ es, por tanto, un "diferencial de Beltrami" en la superficie de Riemann D / Γ.)

Extender μ a una función en C configurando μ ( z ) = 0 off D .

La ecuación de Beltrami

${\displaystyle \partial _{\overline {z}}f(z)=\mu (z)\partial _{z}f(z)}$

admite una solución única hasta la composición con una transformación de Möbius.

Es un homeomorfismo cuasiconformal del plano complejo extendido.

Si g es un elemento de Γ, entonces f ( g ( z )) da otra solución de la ecuación de Beltrami, de modo que

${\displaystyle \alpha (g)=f\circ g\circ f^{-1}}$

es una transformación de Möbius.

El grupo α (Γ) es un grupo cuasi-fucsiano con límite establecido el cuasicírculo dado por la imagen del círculo unitario debajo de f .

Dimensión de Hausdorff

El conejo Douady se compone de cuasicírculos con una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 1.3934 ^[20]

Se sabe que hay cuasicírculos para los que ningún segmento tiene una longitud finita. ^[21] La dimensión de Hausdorff de los cuasicírculos fue investigada por primera vez por Gehring y Väisälä (1973) , quienes demostraron que puede tomar todos los valores en el intervalo [1,2). ^[22] Astala (1993) , utilizando la nueva técnica de "movimientos holomórficas" fue capaz de estimar el cambio en la dimensión de Hausdorff de cualquier conjunto planar bajo un mapa cuasiconformes con dilatación K . Para los cuasicírculos C , hubo una estimación aproximada de la dimensión de Hausdorff ^[23]

${\displaystyle d_{H}(C)\leq 1+k}$

donde

${\displaystyle k={K-1 \over K+1}.}$

Por otro lado, la dimensión de Hausdorff para los conjuntos de Julia J _c de las iteraciones de los mapas racionales

${\displaystyle R(z)=z^{2}+c}$

había sido estimado como resultado del trabajo de Rufus Bowen y David Ruelle , quienes demostraron que

${\displaystyle 1<d_{H}(J_{c})<1+{|c|^{2} \over 4\log 2}+o(|c|^{2}).}$

Dado que estos son cuasicírculos correspondientes a una dilatación

${\displaystyle K={\sqrt {1+t \over 1-t}}}$

donde

${\displaystyle t=|1-{\sqrt {1-4c}}|,}$

esto llevó a Becker y Pommerenke (1987) a demostrar que para k pequeños

${\displaystyle 1+0.36k^{2}\leq d_{H}(C)\leq 1+37k^{2}.}$

Habiendo mejorado el límite inferior siguiendo los cálculos para el copo de nieve de Koch con Steffen Rohde y Oded Schramm , Astala (1994) conjeturó que

${\displaystyle d_{H}(C)\leq 1+k^{2}.}$

Esta conjetura fue probada por Smirnov (2010) ; un recuento completo de su prueba, antes de su publicación, ya se dio en Astala, Iwaniec & Martin (2009) .

Para un grupo cuasi-fucsiano, Bowen (1978) y Sullivan (1982) mostraron que la dimensión d de Hausdorff del conjunto límite es siempre mayor que 1. Cuando d <2, la cantidaderror de harvtxt: sin destino: CITEREFBowen1978 ( ayuda )

${\displaystyle \lambda =d(2-d)\,\in (0,1)}$

es el valor propio más bajo del laplaciano de la correspondiente 3-variedad hiperbólica . ^{[24] [25]}

Notas

1. Lehto y Virtanen 1973
2. Lehto 1983 , p. 49error de harvnb: sin destino: CITEREFLehto1983 ( ayuda )
3. Lehto 1987 , p. 38
4. Lehto y Virtanen 1973 , págs. 97–98
5. Carleson y Gamelin , 1993 , p. 102
6. Lehto y Virtanen , págs. 100-102error de harvnb: sin destino: CITEREFLehtoVirtanen ( ayuda )
7. Lehto 1983 , p. 45error de harvnb: sin destino: CITEREFLehto1983 ( ayuda )
8. Ahlfors , 1966 , p. 81
9. Lehto 1983 , págs. 48–49error de harvnb: sin destino: CITEREFLehto1983 ( ayuda )
10. Lehto y Virtanen , págs. 104-105error de harvnb: sin destino: CITEREFLehtoVirtanen ( ayuda )
11. Lehto 1983error de harvnb: sin destino: CITEREFLehto1983 ( ayuda )
12. Pommerenke 1975 , págs. 271-281.error de harvnb: sin destino: CITEREFPommerenke1975 ( ayuda )
13. Carleson y Gamelin 1993 , págs. 123-126
14. Rohde 1991
15. Bers 1961error de harvnb: sin destino: CITEREFBers1961 ( ayuda )
16. Bowen 1979
17. Mumford, Series y Wright 2002
18. Imayoshi y Taniguchi 1992 , p. 147
19. Marden 2007 , págs. 79–80,134
20. Carleson y Gamelin 1993 , p. 122
21. Lehto y Virtanen 1973 , p. 104
22. Lehto 1982 , p. 38 harvnb error: no target: CITEREFLehto1982 (help)
23. Astala, Iwaniec y Martin 2009
24. Astala y Zinsmeister 1994
25. Marden 2007 , p. 284

Referencias

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