Mapa cuasimétrico
En matemáticas , un homeomorfismo cuasimétrico entre espacios métricos es un mapa que generaliza mapas bi-Lipschitz . Mientras que los mapas bi-Lipschitz reducen o expanden el diámetro de un conjunto en no más de un factor multiplicativo, los mapas cuasimétricos satisfacen la propiedad geométrica más débil de que conservan los tamaños relativos de los conjuntos: si dos conjuntos A y B tienen diámetros ty no lo son más. que la distancia t de separación, entonces la razón de sus tamaños cambia en no más de una constante multiplicativa. Estos mapas también están relacionados con mapas cuasiconformales , ya que en muchas circunstancias son de hecho equivalentes. [1]
Sean ( X , d X ) e ( Y , d Y ) dos espacios métricos . Un homeomorfismo f : X → Y se dice que es η-cuasimétrico si hay una función creciente η : [0, ∞) → [0, ∞) tal que para cualquier triple x , y , z de puntos distintos en X , tener
Se dice que un mapa f: X → Y es H-débilmente cuasimétrico para algunos si para todos los triples de puntos distintos en , entonces
No todos los mapas débilmente cuasimétricos son cuasimétricos. Sin embargo, si está conectado y y se están duplicando , entonces todos los mapas débilmente cuasimétricos son cuasimétricos. El atractivo de este resultado es que probar la cuasimetría débil es mucho más fácil que probar la cuasimetría directamente, y en muchos entornos naturales las dos nociones son equivalentes.
Para comprender lo que esta condición significa geométricamente, suponga f (0) = 0 y considere la estimación anterior cuando y = 0. Entonces implica que el ángulo entre el vector x y su imagen f ( x ) permanece entre 0 y arccos δ < π / 2.
Estos mapas son cuasimétricos, aunque son una subclase mucho más estrecha de mapas cuasimétricos. Por ejemplo, mientras que un mapa cuasimétrico general en el plano complejo podría mapear la línea real a un conjunto de dimensión de Hausdorff estrictamente mayor que uno, un δ -monotono siempre mapeará la línea real a un gráfico rotado de una función de Lipschitz L : ℝ → ℝ. [2]