Q-construcción
En álgebra, la construcción Q de Quillen se asocia a una categoría exacta (p. ej., una categoría abeliana ) una teoría K algebraica . Más precisamente, dada una categoría exacta C , la construcción crea un espacio topológico tal que es el grupo de Grothendieck de C y, cuando C es la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo R , para , es el i -ésimo K-grupo de R en el sentido clásico. (La notación "+" pretende sugerir que la construcción agrega más al espacio de clasificación BC ). Uno pone
y llámelo el i -ésimo K-grupo de C. De manera similar, el i -ésimo K-grupo de C con coeficientes en un grupo G se define como el grupo de homotopía con coeficientes :
La construcción es ampliamente aplicable y se utiliza para definir una teoría K algebraica en un contexto no clásico. Por ejemplo, uno puede definir la teoría K algebraica equivariante como de la categoría de poleas equivariantes en un esquema.
La construcción S de Waldhausen generaliza la construcción Q en un sentido estable; de hecho, el primero, que utiliza una categoría más general de Waldhausen , produce un espectro en lugar de un espacio. El complejo binario de Grayson también proporciona una construcción de la teoría K algebraica para categorías exactas. [1] Véase también el módulo espectro#K-teoría para una teoría-K de un espectro de anillos .
Sea C una categoría exacta; es decir, una subcategoría completa aditiva de una categoría abeliana que se cierra bajo extensión. Si hay una secuencia exacta en C , entonces la flecha de M′ se llama mono admisible y la flecha de M se llama epi admisible.
Sea QC la categoría cuyos objetos son los mismos que los de C y los morfismos de X a Y son clases de isomorfismos de diagramas tales que la primera flecha es un epi admisible y la segunda mono admisible y dos diagramas son isomorfos si difieren solo en el medio y hay un isomorfismo entre ellos. La composición de los morfismos viene dada por pullback.
