Categoría Waldhausen
En matemáticas , una categoría de Waldhausen es una categoría C equipada con algunos datos adicionales, lo que hace posible construir el espectro de la teoría K de C utilizando la llamada construcción S. Lleva el nombre de Friedhelm Waldhausen , quien introdujo esta noción (bajo el término categoría con cofibraciones y equivalencias débiles ) para extender los métodos de la teoría K algebraica a categorías no necesariamente de origen algebraico, por ejemplo, la categoría de espacios topológicos .
Sean C una categoría, co( C ) y we( C ) dos clases de morfismos en C , llamados cofibraciones y equivalencias débiles respectivamente. La terna ( C , co( C ), we( C )) se denomina categoría de Waldhausen si satisface los siguientes axiomas, motivados por las propiedades similares para las nociones de cofibraciones y equivalencias de homotopía débil de espacios topológicos:
Por ejemplo, si es una cofibración y es cualquier mapa, entonces debe existir un pushout y el mapa natural debe ser la cofibración:
En la teoría K algebraica y la teoría de la homotopía existen varias nociones de categorías equipadas con algunas clases específicas de morfismos. Si C tiene una estructura de categoría exacta , entonces al definir we( C ) como isomorfismos, co( C ) como monomorfismos admisibles, se obtiene una estructura de categoría de Waldhausen en C . Ambos tipos de estructura se pueden usar para definir la teoría K de C , usando la construcción Q para una estructura exacta y la construcción S para una estructura de Waldhausen. Un hecho importante es que los espacios de la teoría K resultantes son homotópicos equivalentes.
Si C es una categoría de modelo con un objeto cero, entonces la subcategoría completa de objetos cofibrantes en C puede recibir una estructura de Waldhausen.
La construcción S de Waldhausen produce a partir de una categoría C de Waldhausen una secuencia de complejos Kan , que forma un espectro . Denotemos el espacio de bucle de la realización geométrica de . Entonces el grupo
