Oscilaciones Rabi, que muestran la probabilidad de un sistema de dos niveles inicialmente en terminar en en diferentes desafinaciones Δ.
Un sistema de dos niveles es aquel que tiene dos niveles de energía posibles. Estos dos niveles son un estado fundamental con menor energía y un estado excitado con mayor energía. Si los niveles de energía no están degenerados (es decir, no tienen energías iguales), el sistema puede absorber un cuanto de energía y pasar del estado fundamental al estado "excitado". Cuando un átomo (o algún otro sistema de dos niveles ) es iluminado por un haz coherente de fotones , absorberá fotones cíclicamente y los reemitirá por emisión estimulada . Uno de estos ciclos se llama ciclo Rabi y el inverso de su duración es la frecuencia Rabi del haz de fotones. El efecto se puede modelar utilizando el modelo de Jaynes-Cummings y el formalismo vectorial de Bloch .
Tratamiento matemático
Se puede encontrar una descripción matemática detallada del efecto en la página del problema Rabi . Por ejemplo, para un átomo de dos estados (un átomo en el que un electrón puede estar en estado excitado o fundamental) en un campo electromagnético con frecuencia sintonizada con la energía de excitación, se encuentra la probabilidad de encontrar el átomo en el estado excitado. de las ecuaciones de Bloch para ser:
,
dónde es la frecuencia Rabi.
De manera más general, se puede considerar un sistema en el que los dos niveles considerados no son estados propios de energía . Por tanto, si el sistema se inicializa en uno de estos niveles, la evolución temporal hará que la población de cada uno de los niveles oscile con alguna frecuencia característica, cuya frecuencia angular [1] también se conoce como frecuencia Rabi. El estado de un sistema cuántico de dos estados se puede representar como vectores de un espacio de Hilbert complejo bidimensional , lo que significa que cada vector de estadoestá representado por buenas coordenadas complejas .
Cómo preparar un experimento de oscilación en un sistema cuántico
Se puede construir un experimento de oscilación mediante los siguientes pasos: [3]
Prepare el sistema en un estado fijo; por ejemplo,
Deje que el estado evolucione libremente, bajo un hamiltoniano H para el tiempo t
Encuentre la probabilidad P (t) de que el estado esté en
Si es un autoestado de H, P (t) = 1 y no habrá oscilaciones. Además, si los dos estados y son degenerados, todos los estados incluidos es un autoestado de H. Como resultado, no habrá oscilaciones.
Por otro lado, si H no tiene estados propios degenerados y el estado inicial no es un estado propio, entonces habrá oscilaciones. La forma más general del hamiltoniano de un sistema de dos estados se da
aquí, y son números reales. Esta matriz se puede descomponer como,
La matriz es el 2 2 matriz identidad y las matrices son las matrices de Pauli . Esta descomposición simplifica el análisis del sistema, especialmente en el caso independiente del tiempo donde los valores dey son constantes. Considere el caso de una partícula de espín-1/2 en un campo magnético.. La interacción hamiltoniana para este sistema es
, ,
dónde es la magnitud del momento magnético de la partícula ,es la relación giromagnética yes el vector de matrices de Pauli . Aquí los autoestados de hamiltoniano son autoestados de, es decir y , con los correspondientes valores propios de . La probabilidad de que un sistema en el estado se puede encontrar en el estado arbitrario es dado por .
Deje que el sistema esté preparado en estado en el momento . Tenga en cuenta que es un estado propio de :
.
Aquí el hamiltoniano es independiente del tiempo. Por lo tanto, al resolver la ecuación de Schrödinger estacionaria, el estado después del tiempo t viene dado por, con energía total del sistema . Entonces, el estado después del tiempo t viene dado por:
.
Ahora suponga que el giro se mide en la dirección x en el tiempo t. La probabilidad de encontrar spin-up viene dada por:
dónde es una frecuencia angular característica dada por , donde se ha asumido que . [4] Entonces, en este caso, la probabilidad de encontrar un giro en la dirección x es oscilatoria en el tiempo. cuando el giro del sistema está inicialmente en el dirección. De manera similar, si medimos el giro en el -dirección, la probabilidad de medir el giro como del sistema es . En el caso degenerado donde , la frecuencia característica es 0 y no hay oscilación.
Observe que si un sistema está en un estado propio de un hamiltoniano dado , el sistema permanece en ese estado.
Esto es cierto incluso para los hamiltonianos dependientes del tiempo. Tomando por ejemplo; si el estado de giro inicial del sistema es, entonces la probabilidad de que una medición del giro en la dirección y resulte en en el momento es . [5]
Ejemplo de oscilación Rabi entre dos estados en una molécula de hidrógeno ionizado.
La molécula de hidrógeno ionizado está compuesta por dos protones y y un electrón. Los dos protones debido a sus grandes masas pueden considerarse fijos. Llamemos R a la distancia entre ellos y y los estados donde el electrón se localiza alrededor o. Suponga, en un momento determinado, que el electrón se localiza alrededor del protón. Según los resultados del apartado anterior sabemos que oscilará entre los dos protones con una frecuencia igual a la frecuencia de Bohr asociada a dos estados estacionarios. y de molécula.
Esta oscilación del electrón entre los dos estados corresponde a una oscilación del valor medio del momento dipolar eléctrico de la molécula. Así, cuando la molécula no está en un estado estacionario, puede aparecer un momento dipolar eléctrico oscilante. Un dipolomento oscilante de este tipo puede intercambiar energía con una onda electromagnética de la misma frecuencia. En consecuencia, esta frecuencia debe aparecer en el espectro de absorción y emisión de la molécula de hidrógeno ionizado.
Derivación de la fórmula de Rabi en un procedimiento no perturbativo mediante las matrices de Pauli
Considere un hamiltoniano de la forma
Los valores propios de esta matriz están dados por
y
,
dónde y , para que podamos tomar .
Ahora, vectores propios para se puede encontrar a partir de la ecuación
.
Entonces
.
Aplicando la condición de normalización en los autovectores, . Entonces
.
Dejar y . Entonces.
Entonces obtenemos . Es decir. Tomando ángulo de fase arbitrario,podemos escribir . similar.
Entonces, el vector propio para el valor propio es dado por
.
Como la fase general es irrelevante, podemos escribir
.
De manera similar, el vector propio de la energía propia
es .
A partir de estas dos ecuaciones, podemos escribir
y .
Suponga que el sistema comienza en el estado en el momento ; es decir,
.
Después del tiempo t , el estado evoluciona como
.
Si el sistema está en uno de los estados propios o , seguirá siendo el mismo estado. Sin embargo, para un estado inicial general como se muestra arriba, la evolución temporal no es trivial.
La amplitud de probabilidad de encontrar el sistema en el tiempo t en el estado es dado por .
Ahora, la probabilidad de que un sistema en el estado se encontrará en el estado arbitrario
es dado por
Esto se puede simplificar a
......... (1).
Esto muestra que existe una probabilidad finita de encontrar el sistema en el estado cuando el sistema está originalmente en el estado . La probabilidad es oscilatoria con frecuencia angular., que es simplemente la frecuencia de Bohr única del sistema y también llamada frecuencia de Rabi . La fórmula (1) se conoce como fórmula de Rabi . Ahora, después del tiempo t, la probabilidad de que el sistema en estado es dado por, que también es oscilatorio.
Se puede utilizar cualquier sistema cuántico de dos estados para modelar un qubit . Considere una vuelta - sistema con momento magnético colocado en un campo magnético clásico . Dejarsea la relación giromagnética del sistema. El momento magnético es así. El hamiltoniano de este sistema viene dado por dónde y . Se pueden encontrar los autovalores y autovectores de este hamiltoniano mediante el procedimiento mencionado anteriormente. Ahora, deja que el qubit esté en estado en el momento . Entonces, en el momento, la probabilidad de que se encuentre en estado es dado por dónde . Este fenómeno se llama oscilación Rabi. Así, el qubit oscila entre los y estados. La amplitud máxima de oscilación se alcanza en, que es la condición para la resonancia . En resonancia, la probabilidad de transición viene dada por. Para ir de estado a estado es suficiente ajustar el tiempo durante el cual el campo giratorio actúa de tal manera que o . A esto se le llamalegumbres. Si un tiempo intermedio entre 0 y se elige, obtenemos una superposición de y . En particular para, tenemos una pulso, que actúa como: . Esta operación tiene una importancia crucial en la computación cuántica. Las ecuaciones son esencialmente idénticas en el caso de un átomo de dos niveles en el campo de un láser cuando se realiza la aproximación de onda giratoria generalmente satisfactoria. Luego es la diferencia de energía entre los dos niveles atómicos, es la frecuencia de la onda láser y la frecuencia de Rabi es proporcional al producto del momento dipolar eléctrico de transición del átomo y campo electrico de la onda láser que es . En resumen, las oscilaciones de Rabi son el proceso básico utilizado para manipular qubits. Estas oscilaciones se obtienen exponiendo los qubits a campos eléctricos o magnéticos periódicos durante intervalos de tiempo adecuadamente ajustados. [6]
Ver también
Coherencia atómica
Esfera de Bloch
Bombeo láser
Bombeo óptico
Problema de rabi
Oscilación Rabi de vacío
Oscilación de partículas neutras
Referencias
^ Enciclopedia de la física y la tecnología del láser: oscilaciones de Rabi, frecuencia de Rabi, emisión estimulada
^ Griffiths, David (2005). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.). pag. 341 .
^Sourendu Gupta (27 de agosto de 2013). "La física de los sistemas de 2 estados" (PDF) . Instituto Tata de Investigaciones Fundamentales.
^ Griffiths, David (2012). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.) P. 191.
^ Griffiths, David (2012). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.) P. 196 ISBN 978-8177582307
^ Una breve introducción a la información cuántica y la computación cuántica por Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567
Mecánica cuántica Volumen 1 por C. Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, ISBN 9780471164333
Una breve introducción a la información cuántica y la computación cuántica por Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567
Las Conferencias Feynman sobre Física Vol 3 por Richard P. Feynman y RB Leighton, ISBN 978-8185015842
Enfoque moderno de la mecánica cuántica por John S Townsend, ISBN 9788130913148
enlaces externos
Un subprograma de Java que visualiza ciclos Rabi de sistemas de dos estados (impulsado por láser)
versión extendida del subprograma. Incluye interacción de fonón de electrones