Glosario de geometría riemanniana y métrica

Glosario de matemáticas

"Radio de convexidad" vuelve a dirigir aquí. Para conocer la característica anatómica del hueso del radio , consulte Convexidad del radio .

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Este es un glosario de algunos términos utilizados en geometría riemanniana y geometría métrica ; no cubre la terminología de topología diferencial .

Los siguientes artículos también pueden ser útiles; contienen vocabulario especializado o proporcionan exposiciones más detalladas de las definiciones que se dan a continuación.

• Conexión
• Curvatura
• Espacio métrico
• Colector de Riemann

Ver también:

• Glosario de topología general
• Glosario de topología y geometría diferencial
• Lista de temas de geometría diferencial

A menos que se indique lo contrario, las letras X , Y , Z a continuación denotan espacios métricos, M , N denotan variedades de Riemann, | xy | o denota la distancia entre los puntos x y y en X . La palabra en cursiva denota una autorreferencia a este glosario.${\displaystyle |xy|_{X}}$

Una advertencia : muchos términos en geometría riemanniana y métrica, como función convexa , conjunto convexo y otros, no tienen exactamente el mismo significado que en el uso matemático general.

A

El espacio Alexandrov es una generalización de variedades de Riemann con límites de curvatura superior, inferior o integral (el último funciona solo en la dimensión 2)

Colector casi plano

La isometría en forma de arco es la misma que la isometría de trayectoria .

Autoparallel lo mismo que totalmente geodésico

B

Baricentro , ver centro de masa .

mapa bi-Lipschitz. Un mapa se llama bi-Lipschitz si hay constantes positivas c y C tal que para cualquier x y y en X${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}}$

Función de Busemann dado un rayo , γ: [0, ∞) → X , la función de Busemann está definida por

${\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t)}$

C

El teorema de Cartan-Hadamard es la afirmación de que una variedad de Riemannian completa conectada, simplemente conectada con una curvatura de sección no positiva es difeomórfica a R ^{n a} través del mapa exponencial; para los espacios métricos, la afirmación de que un espacio métrico geodésico completo conectado, simplemente conectado con curvatura no positiva en el sentido de Alexandrov es un espacio CAT (0) (globalmente).

Cartan extendió la relatividad general de Einstein a la teoría de Einstein-Cartan , utilizando la geometría de Riemann-Cartan en lugar de la geometría de Riemann. Esta extensión proporciona una torsión afín , lo que permite tensores de curvatura no simétricos y la incorporación de acoplamiento espín-órbita .

Centro de masa . Un punto q  ∈  M se llama centro de masa de los puntos si es un punto de mínimo global de la función${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}}$

Tal punto es único si todas las distancias son menores que el radio de convexidad .${\displaystyle |p_{i}p_{j}|}$

Símbolo de Christoffel

Colector colapsado

Espacio completo

Terminación

El mapa conformal es un mapa que conserva ángulos.

Conformemente plano, una M es conforme a plano si es localmente conforme a un espacio euclidiano, por ejemplo, la esfera estándar es conforme a plano.

Puntos conjugados dos puntos p y q en una geodésicase llaman conjugado si hay un campo de Jacobi enel que tiene un cero en p y q .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

Función convexa . Una función f en una variedad de Riemann es convexa si para cualquier geodésicala funciónes convexa . Una función f se llama-convexa si para cualquier geodésicacon parámetro natural, la funciónes convexa .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t}$${\displaystyle f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}}$

Convexo Un subconjunto K de una variedad Riemanniana M se llama convexo si para dos puntos cualesquiera en K hay un camino más corto que los conecta y que se encuentra completamente en K , ver también totalmente convexo .

Paquete cotangente

Derivado covariante

Lugar de corte

D

El diámetro de un espacio métrico es el supremo de las distancias entre pares de puntos.

La superficie desarrollable es una superficie isométrica al plano.

La dilatación de un mapa entre espacios métricos es el mínimo de números L tal que el mapa dado es L - Lipschitz .

mi

Mapa exponencial : mapa exponencial (teoría de Lie) , mapa exponencial (geometría de Riemann)

F

Métrica de Finsler

La primera forma fundamental para una incrustación o inmersión es el retroceso del tensor métrico .

GRAMO

La geodésica es una curva que minimiza localmente la distancia .

El flujo geodésico es un flujo en un haz tangente TM de un colector M , generado por un campo vectorial cuyas trayectorias son de la formadondehay una geodésica .${\displaystyle (\gamma (t),\gamma '(t))}$${\displaystyle \gamma }$

Convergencia Gromov-Hausdorff

El espacio métrico geodésico es un espacio métrico en el que dos puntos cualesquiera son los extremos de una geodésica minimizadora .

H

El espacio Hadamard es un espacio completo simplemente conectado con curvatura no positiva.

Horósfera un conjunto de niveles de la función de Busemann .

I

Radio de inyectividad El radio de inyectividad en un punto p de una variedad de Riemann es el radio más grande para el cual el mapa exponencial en p es un difeomorfismo . El radio de inyectividad de una variedad de Riemann es el mínimo de los radios de inyectividad en todos los puntos. Véase también lugar de corte .

Para variedades completas, si el radio de inyectividad en p es un número finito r , entonces hay una geodésica de longitud 2 r que comienza y termina en p o hay un punto q conjugado ap (ver punto conjugado arriba) y en el distancia r desde p . Para una variedad Riemanniana cerrada, el radio de inyectividad es la mitad de la longitud mínima de una geodésica cerrada o la distancia mínima entre puntos conjugados en una geodésica.

Infranilmanifold Dado un grupo de Lie nilpotente simplemente conexo N que actúa sobre sí mismo por la multiplicación izquierda y un grupo finito de automorfismos F de N se puede definir una acción del producto semidirecto en N . Un espacio orbital de N por un subgrupo discreto del cual actúa libremente sobre N se denomina múltiple infranil . Un colector infranil está cubierto de forma finita por un colector nulo .${\displaystyle N\rtimes F}$${\displaystyle N\rtimes F}$

La isometría es un mapa que conserva distancias.

Métrica intrínseca

J

Campo de Jacobi Un campo de Jacobi es un campo vectorial en unaγ geodésica que se puede obtener de la siguiente manera: Tome una familia de geodésicas de un parámetro suavecon, luego el campo de Jacobi se describe mediante${\displaystyle \gamma _{\tau }}$${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.}$

Curva de Jordan

K

Campo de vector de matanza

L

La métrica de longitud es la misma que la métrica intrínseca .

La conexión Levi-Civita es una forma natural de diferenciar campos vectoriales en variedades de Riemann.

Convergencia de Lipschitz la convergencia definida por la métrica de Lipschitz.

La distancia de Lipschitz entre espacios métricos es el mínimo de números r de manera que hay un mapa bi-Lipschitz biyectivo entre estos espacios con constantes exp (- r ), exp ( r ).

Mapa de Lipschitz

El mapa logarítmico es un inverso a la derecha del mapa exponencial.

METRO

Curvatura media

Bola métrica

Tensor métrico

La superficie mínima es una subvariedad con (vector de) curvatura media cero.

norte

La parametrización natural es la parametrización por longitud.

Net . Un subconjunto S de un espacio métrico X se llama -net si para cualquier punto en X hay un punto en S en la distancia . Esto es distinto de las redes topológicas que generalizan límites.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \leq \epsilon }$

Nilmanifold : Un elemento del conjunto mínimo de variedades que incluye un punto y tiene la siguiente propiedad: cualquier-bundleorientadosobre una nilmanifold es una nilmanifold. También se puede definir como un factor de un grupo de Lie nilpotente conectadopor una red .${\displaystyle S^{1}}$

Haz normal : asociado a la incrustación de una variedad M en un espacio euclidiano ambiental, el haz normal es un haz de vectores cuya fibra en cada punto p es el complemento ortogonal (in) del espacio tangente.${\displaystyle {\mathbb {R} }^{N}}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{N}}$${\displaystyle T_{p}M}$

Mapa no expansivo igual que mapa corto

PAG

Transporte paralelo

Espacio poliédrico un complejo simplicial con una métrica tal que cada simplex con métrica inducida es isométrica a un simplex en el espacio euclidiano .

La curvatura principal son las curvaturas normales máxima y mínima en un punto de una superficie.

La dirección principal es la dirección de las curvaturas principales.

Isometría de ruta

El espacio métrico adecuado es un espacio métrico en el que cada bola cerrada es compacta . De manera equivalente, si cada subconjunto acotado cerrado es compacto. Cada espacio métrico adecuado está completo .

Q

Quasigeodesic tiene dos significados; aquí te damos las más habituales. Un mapa (donde hay un subsegmento) se llama cuasigeodésico si hay constantes y tales que para cada${\displaystyle f:I\to Y}$${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C\geq 0}$${\displaystyle x,y\in I}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

Tenga en cuenta que un cuasigeodesico no es necesariamente una curva continua.

Cuasi-isometría . Un mapase llama cuasi-isometría si hay constantesytales que ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C\geq 0}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

y cada punto en Y tiene una distancia como máximo C desde algún punto de f ( X ). Tenga en cuenta que no se supone que una cuasi-isometría sea continua. Por ejemplo, cualquier mapa entre espacios métricos compactos es una cuasi isometría. Si existe una cuasi-isometría de X a Y, entonces se dice que X e Y son cuasi-isométricos .

R

El radio del espacio métrico es el mínimo de los radios de las bolas métricas que contienen el espacio por completo.

El radio de convexidad en un punto p de una variedad de Riemann es el radio más grande de una bola que es un subconjunto convexo .

Ray es una geodésica infinita de un lado que se minimiza en cada intervalo

Tensor de curvatura de Riemann

Colector de Riemann

La inmersión de Riemann es un mapa entre las variedades de Riemann que es inmersión y submetría al mismo tiempo.

S

La segunda forma fundamental es una forma cuadrática en el espacio tangente de la hipersuperficie, generalmente denotada por II, una forma equivalente de describir el operador de forma de una hipersuperficie,

${\displaystyle {\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle }$

También se puede generalizar a codimensión arbitraria, en cuyo caso es una forma cuadrática con valores en el espacio normal.

Operador Shape para una hipersuperficie M es un operador lineal en espacios tangentes, S _p :  T _p M → T _p M . Si n es un campo normal unidad a M y v es un vector tangente a continuación,

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(no existe un acuerdo estándar sobre si usar + o - en la definición).

El mapa corto es un mapa de distancia que no aumenta.

Colector liso

El colector de sol es un factor de un grupo de Lie que se puede resolver conectadomediante una celosía .

Submetría un mapa corto f entre espacios métricos se llama submetría si existe R> 0 tal que para cualquier punto xy radio r <R tenemos que la imagen de la bola r métricaes unabola r , es decir

${\displaystyle f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x))}$

Colector sub-riemanniano

Sístole . El k -systole de M ,es el volumen mínimo de k -ciclo no homóloga a cero.${\displaystyle syst_{k}(M)}$

T

Paquete tangente

Totalmente convexo. Un subconjunto K de una variedad Riemanniana M se llama totalmente convexo si para dos puntos cualesquiera en K cualquier geodésico que los conecte se encuentra completamente en K , ver también convexo .

Totalmente geodésica subvariedad es una subvariedad de tal manera que todas las geodésicas en la subvariedad son también geodésicas del colector circundante.

U

El espacio métrico exclusivamente geodésico es un espacio métrico en el que dos puntos cualesquiera son los extremos de una geodésica minimizadora única .

W

La métrica de palabras en un grupo es una métrica del gráfico de Cayley construido usando un conjunto de generadores.