En matemáticas , un espacio métrico es un conjunto junto con una métrica en el conjunto. La métrica es una función que define un concepto de distancia entre dos miembros cualesquiera del conjunto, que normalmente se denominan puntos . La métrica satisface algunas propiedades simples. Informalmente:
- la distancia desde a es cero si y solo si y son el mismo punto,
- la distancia entre dos puntos distintos es positiva,
- la distancia desde a es la misma que la distancia desde a , y
- la distancia desde a es menor o igual que la distancia desde a a través de cualquier tercer punto .
Una métrica en un espacio induce propiedades topológicas como conjuntos abiertos y cerrados , que conducen al estudio de espacios topológicos más abstractos .
El espacio métrico más familiar es el espacio euclidiano tridimensional . De hecho, una "métrica" es la generalización de la métrica euclidiana que surge de las cuatro propiedades conocidas de la distancia euclidiana. La métrica euclidiana define la distancia entre dos puntos como la longitud del segmento de línea recta que los conecta. Otros espacios métricos ocurren, por ejemplo, en geometría elíptica y geometría hiperbólica , donde la distancia en una esfera medida por ángulo es una métrica, y el modelo hiperboloide de geometría hiperbólica es utilizado por la relatividad especial como un espacio métrico de velocidades . Algunos de los espacios métricos no geométricos incluyen espacios de cadenas finitas ( secuencias finitas de símbolos de un alfabeto predefinido) equipadas con por ejemplo, un Hamming 's o Levenshtein distancia , un espacio de subconjuntos de cualquier espacio métrico equipados con Hausdorff distancia , un espacio de bienes funciones integrables en un intervalo unitario con una métrica integralo espacios probabilísticos en cualquier espacio métrico elegido equipado con la métrica de Wasserstein .
Historia
En 1906 Maurice Fréchet introdujo los espacios métricos en su obra Sur quelques points du calcul fonctionnel . [1] Sin embargo, el nombre se debe a Felix Hausdorff .
Definición
Un espacio métrico es un par ordenado dónde es un conjunto y es una métrica en, es decir, una función
tal que para cualquier , lo siguiente es válido: [2]
Dados los tres axiomas anteriores, también tenemos que para cualquier . Esto se deduce de la siguiente manera:
por desigualdad triangular por simetría por identidad de indiscernibles tenemos no negatividad
La función también se llama función de distancia o simplemente distancia . A menudo, se omite y uno solo escribe para un espacio métrico si del contexto queda claro qué métrica se utiliza.
Ignorando los detalles matemáticos, para cualquier sistema de carreteras y terrenos, la distancia entre dos ubicaciones se puede definir como la longitud de la ruta más corta que conecta esas ubicaciones. Para ser una métrica, no debería haber carreteras de un solo sentido. La desigualdad del triángulo expresa el hecho de que los desvíos no son atajos. Si la distancia entre dos puntos es cero, los dos puntos son indistinguibles entre sí. Muchos de los ejemplos siguientes pueden verse como versiones concretas de esta idea general.
Ejemplos de espacios métricos
- Los números reales con la función de distancia.propuesta por el diferencia absoluta , y, más generalmente, euclidiano n -espacio con la distancia euclídea , son completos espacios métricos. Los números racionales con la misma función de distancia también forman un espacio métrico, pero no completo.
- Los números reales positivos con función de distancia es un espacio métrico completo.
- Cualquier espacio vectorial normado es un espacio métrico definiendo, consulte también métricas sobre espacios vectoriales . (Si dicho espacio está completo , lo llamamos espacio de Banach ). Ejemplos:
- La norma de Manhattan da lugar a la distancia de Manhattan , donde la distancia entre dos puntos, o vectores, es la suma de las diferencias entre las coordenadas correspondientes.
- La métrica cíclica de Mannheim o distancia de Mannheim es una variante de módulo de la métrica de Manhattan. [3] [4]
- La norma máxima da lugar a la distancia de Chebyshev o distancia del tablero de ajedrez, el número mínimo de movimientos que tomaría un rey del ajedrez para viajar desde a .
- La métrica de British Rail (también llamada "métrica de la oficina de correos" o " métrica SNCF ") en un espacio vectorial normalizado viene dada por para distintos puntos y , y . Más generalmente se puede reemplazar con una función tomando un conjunto arbitrario a reales no negativos y tomando el valor como máximo una vez: entonces la métrica se define en por para distintos puntos y , y . El nombre alude a la tendencia de los viajes en tren a pasar por Londres (o París) independientemente de su destino final.
- Si es un espacio métrico y es un subconjunto de, a continuación, se convierte en un espacio métrico al restringir el dominio de a .
- La métrica discreta , donde Si y de lo contrario, es un ejemplo simple pero importante y se puede aplicar a todos los conjuntos. Esto, en particular, muestra que para cualquier conjunto, siempre hay un espacio métrico asociado. Usando esta métrica, el singleton de cualquier punto es una bola abierta , por lo tanto, cada subconjunto está abierto y el espacio tiene la topología discreta .
- Un espacio métrico finito es un espacio métrico que tiene un número finito de puntos. No todos los espacios métricos finitos se pueden incrustar isométricamente en un espacio euclidiano . [5] [6]
- El plano hiperbólico es un espacio métrico. Más generalmente:
- Si es cualquier variedad Riemanniana conectada , entonces podemos convertiren un espacio métrico definiendo la distancia de dos puntos como el mínimo de las longitudes de los caminos ( curvas continuamente diferenciables ) que los conectan.
- Si es un conjunto y es un espacio métrico, entonces, el conjunto de todas las funciones acotadas (es decir, aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de) se puede convertir en un espacio métrico definiendo para dos funciones limitadas cualesquiera y (dónde es superior ). [7] Esta métrica se llama métrica uniforme o métrica superior, y siestá completo, entonces este espacio funcional también está completo. Si X también es un espacio topológico, entonces el conjunto de todas las funciones continuas acotadas de a (dotado de la métrica uniforme), también será una métrica completa si M es.
- Si es un gráfico conectado no dirigido , entonces el conjunto de vértices de se puede convertir en un espacio métrico definiendo ser la longitud del camino más corto que conecta los vértices y . En la teoría de grupos geométricos, esto se aplica al gráfico de Cayley de un grupo, lo que produce la palabra métrica .
- La distancia de edición de gráficos es una medida de disimilitud entre dos gráficos , definida como el número mínimo de operaciones de edición de gráficos necesarias para transformar un gráfico en otro.
- La distancia de Levenshtein es una medida de la disimilitud entre dos cadenas y , definido como el número mínimo de eliminaciones, inserciones o sustituciones de caracteres necesarias para transformar dentro . Esto se puede considerar como un caso especial de la métrica de ruta más corta en un gráfico y es un ejemplo de una distancia de edición .
- Dado un espacio métrico y una función cóncava creciente tal que si y solo si , luego también es una métrica de .
- Dada una función inyectiva de cualquier conjunto a un espacio métrico , define una métrica en .
- Usando la teoría T , el espacio estrecho de un espacio métrico también es un espacio métrico. El espacio reducido es útil en varios tipos de análisis.
- El conjunto de todos por matrices sobre algún campo es un espacio métrico con respecto a la distancia de rango.
- La métrica de Helly se utiliza en teoría de juegos .
Conjuntos abiertos y cerrados, topología y convergencia
Todo espacio métrico es un espacio topológico de manera natural y, por lo tanto, todas las definiciones y teoremas sobre espacios topológicos generales también se aplican a todos los espacios métricos.
Sobre cualquier punto en un espacio métrico definimos la bola abierta de radio (dónde es un número real) sobre como el set
Estas bolas abiertas forman la base de una topología en M , lo que lo convierte en un espacio topológico .
Explícitamente, un subconjunto de se llama abierto si para cada en existe un tal que está contenido en . El complemento de un conjunto abierto se llama cerrado . Un barrio de la punta es cualquier subconjunto de que contiene una bola abierta sobre como un subconjunto.
Un espacio topológico que puede surgir de este modo a partir de un espacio métrico se denomina espacio metrizable .
Una secuencia () en un espacio métrico se dice que converge hasta el límite si y solo si para cada, existe un número natural N tal que para todos . De manera equivalente, se puede utilizar la definición general de convergencia disponible en todos los espacios topológicos.
Un subconjunto del espacio métrico se cierra si y solo si cada secuencia en que converge a un límite en tiene su límite en .
Tipos de espacios métricos
Espacios completos
Un espacio métrico se dice que está completo si cada secuencia de Cauchy converge en. Es decir: si como ambos y ir de forma independiente al infinito, entonces hay algo con .
Todo espacio euclidiano está completo, al igual que todo subconjunto cerrado de un espacio completo. Los números racionales, usando la métrica de valor absoluto, no están completos.
Cada espacio métrico tiene una terminación única (hasta isometría ) , que es un espacio completo que contiene el espacio dado como un subconjunto denso . Por ejemplo, los números reales son la finalización de los racionales.
Si es un subconjunto completo del espacio métrico , luego está cerrado en . De hecho, un espacio está completo si y solo si está cerrado en cualquier espacio métrico que lo contenga.
Cada espacio métrico completo es un espacio de Baire .
Espacios acotados y totalmente acotados
Un espacio métrico se llama acotado si existe algún número, tal que para todos . El más pequeño posible comose llama el diámetro de. El espaciose llama precompacto o totalmente acotado si para cada existen un número finito de bolas abiertas de radio cuya unión cubre . Dado que el conjunto de los centros de estas bolas es finito, tiene un diámetro finito, de lo cual se sigue (usando la desigualdad del triángulo) que todo espacio totalmente acotado está acotado. Lo contrario no se cumple, ya que a cualquier conjunto infinito se le puede dar la métrica discreta (uno de los ejemplos anteriores) bajo la cual está acotado y, sin embargo, no totalmente acotado.
Tenga en cuenta que en el contexto de intervalos en el espacio de números reales y ocasionalmente regiones en un espacio euclidianoun conjunto acotado se denomina "intervalo finito" o "región finita". Sin embargo, la delimitación no debe confundirse en general con "finito", que se refiere al número de elementos, no a la extensión del conjunto; finitud implica delimitación, pero no a la inversa. También tenga en cuenta que un subconjunto ilimitado depuede tener un volumen finito .
Espacios compactos
Un espacio métrico es compacto si cada secuencia en tiene una subsecuencia que converge a un punto en. Esto se conoce como compacidad secuencial y, en los espacios métricos (pero no en los espacios topológicos generales), es equivalente a las nociones topológicas de compacidad y compacidad contables definidas a través de cubiertas abiertas .
Ejemplos de espacios métricos compactos incluyen el intervalo cerrado con la métrica de valor absoluto, todos los espacios métricos con un número finito de puntos y el conjunto de Cantor . Cada subconjunto cerrado de un espacio compacto es en sí mismo compacto.
Un espacio métrico es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado. Esto se conoce como el teorema de Heine-Borel . Tenga en cuenta que la compacidad depende solo de la topología, mientras que la delimitación depende de la métrica.
El lema numérico de Lebesgue establece que por cada cubierta abierta de un espacio métrico compacto, existe un "número de Lebesgue" tal que cada subconjunto de de diámetro está contenido en algún miembro de la portada.
Cada espacio métrico compacto es contable en segundo lugar , [8] y es una imagen continua del conjunto de Cantor . (El último resultado se debe a Pavel Alexandrov y Urysohn ).
Espacios localmente compactos y adecuados
Se dice que un espacio métrico es localmente compacto si cada punto tiene una vecindad compacta. Los espacios euclidianos son localmente compactos, pero los espacios de Banach de dimensión infinita no lo son.
Un espacio es apropiado si cada bola cerradaes compacto. Los espacios adecuados son localmente compactos, pero lo contrario no es cierto en general.
Conectividad
Un espacio métrico está conectado si los únicos subconjuntos que están abiertos y cerrados son el conjunto vacío y sí mismo.
Un espacio métrico ¿Está conectado el camino si para dos puntos cualesquiera? existe un mapa continuo con y . Todos los espacios conectados por caminos están conectados, pero lo contrario no es cierto en general.
También hay versiones locales de estas definiciones: espacios conectados localmente y espacios conectados localmente con rutas .
Los espacios simplemente conectados son aquellos que, en cierto sentido, no tienen "huecos".
Espacios separables
Un espacio métrico es un espacio separable si tiene un subconjunto denso contable . Los ejemplos típicos son los números reales o cualquier espacio euclidiano. Para los espacios métricos (pero no para los espacios topológicos generales), la separabilidad es equivalente a la segunda contabilidad y también a la propiedad de Lindelöf .
Espacios métricos puntiagudos
Si es un espacio métrico y luego se llama un espacio métrico puntiagudo , yse llama un punto distinguido . Tenga en cuenta que un espacio métrico puntiagudo es solo un espacio métrico no vacío con la atención puesta en su punto distinguido, y que cualquier espacio métrico no vacío puede verse como un espacio métrico puntiagudo. El punto distinguido a veces se denota debido a su comportamiento similar a cero en determinados contextos.
Tipos de mapas entre espacios métricos
Suponer y son dos espacios métricos.
Mapas continuos
El mapa es continuo si tiene una (y por lo tanto todas) de las siguientes propiedades equivalentes:
- Continuidad topológica general
- por cada set abierto en , la preimagen está abierto en
- Ésta es la definición general de continuidad en topología .
- Continuidad secuencial
- Si es una secuencia en que converge a , luego la secuencia converge a en .
- Se trata de una continuidad secuencial , gracias a Eduard Heine .
- ε-δ definición
- para cada y cada existe tal que para todos en tenemos
- Esto usa la definición de límite (ε, δ) , y se debe a Augustin Louis Cauchy .
Es más, es continuo si y solo si es continuo en cada subconjunto compacto de .
La imagen de cada aparato compacto bajo una función continua es compacta, y la imagen de cada aparato conectado bajo una función continua está conectada.
Mapas uniformemente continuos
El mapa es uniformemente continuo si para cada existe tal que
Cada mapa uniformemente continuo es continuo. Lo contrario es cierto sies compacto ( teorema de Heine-Cantor ).
Los mapas uniformemente continuos convierten las secuencias de Cauchy en en secuencias de Cauchy en . Para mapas continuos, esto es generalmente incorrecto; por ejemplo, un mapa continuo del intervalo abierto en la línea real convierte algunas secuencias de Cauchy en secuencias ilimitadas.
Mapas y contracciones continuas de Lipschitz
Dado un número real , el mapa es K -Lipschitz continuo si
Cada mapa continuo de Lipschitz es uniformemente continuo, pero lo contrario no es cierto en general.
Si , luego se llama contracción . Suponer y Esta completo. Si es una contracción, entonces admite un único punto fijo ( teorema de punto fijo de Banach ). Si es compacto, la condición se puede debilitar un poco: admite un único punto fijo si
- .
Isometrías
El mapa es una isometría si
Las isometrías son siempre inyectivas ; la imagen de un conjunto compacto o completo bajo una isometría es compacta o completa, respectivamente. Sin embargo, si la isometría no es sobreyectiva , no es necesario que la imagen de un conjunto cerrado (o abierto) esté cerrada (o abierta).
Cuasi-isometrías
El mapa es una cuasi-isometría si existen constantes y tal que
y una constante tal que cada punto en tiene una distancia como máximo desde algun punto de la imagen .
Tenga en cuenta que no se requiere que una cuasi-isometría sea continua. Las cuasi-isometrías comparan la "estructura a gran escala" de los espacios métricos; encuentran uso en la teoría de grupos geométricos en relación con la palabra métrica .
Nociones de equivalencia de espacio métrico
Dados dos espacios métricos y :
- Se denominan homeomorfos (topológicamente isomorfos) si existe un homeomorfismo entre ellos (es decir, una biyección continua en ambas direcciones).
- Se denominan uniformes (uniformemente isomorfos) si existe un isomorfismo uniforme entre ellos (es decir, una biyección uniformemente continua en ambas direcciones).
- Se denominan isométricos si existe una isometría biyectiva entre ellos. En este caso, los dos espacios métricos son esencialmente idénticos.
- Se denominan cuasi-isométricos si existe una cuasi-isometría entre ellos.
Propiedades topologicas
Los espacios métricos son espacios paracompactos [9] de Hausdorff [10] y, por tanto, normales (de hecho, son perfectamente normales). Una consecuencia importante es que todo espacio métrico admite particiones de unidad y que cada función continua de valor real definida en un subconjunto cerrado de un espacio métrico puede extenderse a un mapa continuo en todo el espacio ( teorema de extensión de Tietze ). También es cierto que cada mapa continuo de Lipschitz con valor real definido en un subconjunto de un espacio métrico puede extenderse a un mapa continuo de Lipschitz en todo el espacio.
Metric spaces are first countable since one can use balls with rational radius as a neighborhood base.
The metric topology on a metric space is the coarsest topology on relative to which the metric is a continuous map from the product of with itself to the non-negative real numbers.
Distancia entre puntos y conjuntos; Distancia de Hausdorff y métrica de Gromov
A simple way to construct a function separating a point from a closed set (as required for a completely regular space) is to consider the distance between the point and the set. If is a metric space, is a subset of and is a point of , we define the distance from to as
- where represents the infimum.
Then if and only if belongs to the closure of . Furthermore, we have the following generalization of the triangle inequality:
which in particular shows that the map is continuous.
Given two subsets and of , we define their Hausdorff distance to be
- where represents the supremum.
In general, the Hausdorff distance can be infinite. Two sets are close to each other in the Hausdorff distance if every element of either set is close to some element of the other set.
The Hausdorff distance turns the set of all non-empty compact subsets of into a metric space. One can show that is complete if is complete. (A different notion of convergence of compact subsets is given by the Kuratowski convergence.)
One can then define the Gromov–Hausdorff distance between any two metric spaces by considering the minimal Hausdorff distance of isometrically embedded versions of the two spaces. Using this distance, the class of all (isometry classes of) compact metric spaces becomes a metric space in its own right.
Espacios métricos de producto
If are metric spaces, and is the Euclidean norm on , then is a metric space, where the product metric is defined by
and the induced topology agrees with the product topology. By the equivalence of norms in finite dimensions, an equivalent metric is obtained if is the taxicab norm, a p-norm, the maximum norm, or any other norm which is non-decreasing as the coordinates of a positive -tuple increase (yielding the triangle inequality).
Similarly, a countable product of metric spaces can be obtained using the following metric
An uncountable product of metric spaces need not be metrizable. For example, is not first-countable and thus isn't metrizable.
Continuity of distance
In the case of a single space , the distance map (from the definition) is uniformly continuous with respect to any of the above product metrics , and in particular is continuous with respect to the product topology of .
Espacios métricos cocientes
If M is a metric space with metric , and is an equivalence relation on , then we can endow the quotient set with a pseudometric. Given two equivalence classes and , we define
where the infimum is taken over all finite sequences and with , , . In general this will only define a pseudometric, i.e. does not necessarily imply that . However, for some equivalence relations (e.g., those given by gluing together polyhedra along faces), is a metric.
The quotient metric is characterized by the following universal property. If is a metric map between metric spaces (that is, for all , ) satisfying whenever then the induced function , given by , is a metric map
A topological space is sequential if and only if it is a quotient of a metric space.[11]
Generalizaciones de espacios métricos
- Every metric space is a uniform space in a natural manner, and every uniform space is naturally a topological space. Uniform and topological spaces can therefore be regarded as generalizations of metric spaces.
- Relaxing the requirement that the distance between two distinct points be non-zero leads to the concepts of a pseudometric space or a dislocated metric space.[12] Removing the requirement of symmetry, we arrive at a quasimetric space. Replacing the triangle inequality with a weaker form leads to semimetric spaces.
- If the distance function takes values in the extended real number line , but otherwise satisfies the conditions of a metric, then it is called an extended metric and the corresponding space is called an -metric space. If the distance function takes values in some (suitable) ordered set (and the triangle inequality is adjusted accordingly), then we arrive at the notion of generalized ultrametric.[12]
- Approach spaces are a generalization of metric spaces, based on point-to-set distances, instead of point-to-point distances.
- A continuity space is a generalization of metric spaces and posets, that can be used to unify the notions of metric spaces and domains.
- A partial metric space is intended to be the least generalisation of the notion of a metric space, such that the distance of each point from itself is no longer necessarily zero.[13]
Metric spaces as enriched categories
The ordered set can be seen as a category by requesting exactly one morphism if and none otherwise. By using as the tensor product and as the identity, it becomes a monoidal category . Every metric space can now be viewed as a category enriched over :
- Set
- For each set
- The composition morphism will be the unique morphism in given from the triangle inequality
- The identity morphism will be the unique morphism given from the fact that .
- Since is a poset, all diagrams that are required for an enriched category commute automatically.
See the paper by F.W. Lawvere listed below.
Ver también
- Aleksandrov–Rassias problem
- Category of metric spaces
- Classical Wiener space
- Contraction mapping – Function reducing distance between all points
- Glossary of Riemannian and metric geometry – Mathematics glossary
- Hilbert space – Mathematical generalization of Euclidean space to infinite dimensions
- Hilbert's fourth problem
- Isometry
- Lee distance
- Lipschitz continuity – Strong form of uniform continuity
- Measure (mathematics) – Generalization of length, area, volume and integral
- Metric (mathematics) – Mathematical function defining distance
- Metric map
- Metric signature – Number of positive, negative and zero eigenvalues of a metric tensor
- Metric tensor
- Metric tree
- Norm (mathematics) – Length in a vector space
- Normed vector space – Vector space on which a distance is defined
- Product metric
- Space (mathematics) – Mathematical set with some added structure
- Triangle inequality – property of geometry, also used to generalize the notion of "distance" in metric spaces
- Ultrametric space – A type of metric space in which the triangle inequality is replaced by a stronger inequality using max in place of addition
Referencias
- ^ Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74
- ^ B. Choudhary (1992). The Elements of Complex Analysis. New Age International. p. 20. ISBN 978-81-224-0399-2.
- ^ Huber, Klaus (January 1994) [1993-01-17, 1992-05-21]. "Codes over Gaussian Integers". IEEE Transactions on Information Theory. 40 (1): 207–216. doi:10.1109/18.272484. eISSN 1557-9654. ISSN 0018-9448. S2CID 195866926. IEEE Log ID 9215213. Archived (PDF) from the original on 2020-12-17. Retrieved 2020-12-17. [1][2] (1+10 pages) (NB. This work was partially presented at CDS-92 Conference, Kaliningrad, Russia, on 1992-09-07 and at the IEEE Symposium on Information Theory, San Antonio, TX, USA.)
- ^ Strang, Thomas; Dammann, Armin; Röckl, Matthias; Plass, Simon (October 2009). Using Gray codes as Location Identifiers (PDF). 6. GI/ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogene Anwendungen und Dienste (in English and German). Oberpfaffenhofen, Germany: Institute of Communications and Navigation, German Aerospace Center (DLR). CiteSeerX 10.1.1.398.9164. Archived (PDF) from the original on 2015-05-01. Retrieved 2020-12-16. Lay summary (PDF). (5/8 pages) [3]
- ^ Nathan Linial. Finite Metric Spaces—Combinatorics, Geometry and Algorithms, Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 3, pp573–586 Archived 2018-05-02 at the Wayback Machine
- ^ Open problems on embeddings of finite metric spaces, edited by Jirīı Matoušek, 2007 Archived 2010-12-26 at the Wayback Machine
- ^ Searcóid, p. 107.
- ^ "PlanetMath: a compact metric space is second countable". planetmath.org. Archived from the original on 2009-02-05. Retrieved 2018-05-02.
- ^ Rudin, Mary Ellen. A new proof that metric spaces are paracompact Archived 2016-04-12 at the Wayback Machine. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603.
- ^ "metric spaces are Hausdorff". PlanetMath.
- ^ Goreham, Anthony. Sequential convergence in Topological Spaces Archived 2011-06-04 at the Wayback Machine. Honours' Dissertation, Queen's College, Oxford (April, 2001), p. 14
- ^ a b Pascal Hitzler; Anthony Seda (2016-04-19). Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. CRC Press. ISBN 978-1-4398-2962-2.
- ^ "Partial metrics : welcome". www.dcs.warwick.ac.uk. Archived from the original on 2017-07-27. Retrieved 2018-05-02.
Otras lecturas
- Victor Bryant, Metric Spaces: Iteration and Application, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31897-1.
- Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
- Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, First edition 2004, ISBN 978-3-03719-010-4. Second edition 2014, ISBN 978-3-03719-132-3.
- Mícheál Ó Searcóid, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2006, ISBN 1-84628-369-8.
- Lawvere, F. William, "Metric spaces, generalized logic, and closed categories", [Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135—166 (1974); (Italian summary)
This is reprinted (with author commentary) at Reprints in Theory and Applications of Categories Also (with an author commentary) in Enriched categories in the logic of geometry and analysis. Repr. Theory Appl. Categ. No. 1 (2002), 1–37.
- Weisstein, Eric W. "Product Metric". MathWorld.
enlaces externos
- "Metric space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.