En matemáticas , el teorema maestro de Ramanujan (llamado así por Srinivasa Ramanujan [1] ) es una técnica que proporciona una expresión analítica para la transformada de Mellin de una función analítica .
El resultado se expresa de la siguiente manera:
Si una función de valor complejo tiene una expansión de la forma
luego la transformada de Mellin de es dado por
dónde es la función gamma .
Ramanujan lo utilizó ampliamente para calcular integrales definidas y series infinitas .
Las versiones de dimensiones superiores de este teorema también aparecen en física cuántica (a través de los diagramas de Feynman ). [2]
Formalismo alternativo
Una formulación alternativa del teorema maestro de Ramanujan es la siguiente:
que se convierte a la forma anterior después de sustituir y usando la ecuación funcional para la función gamma .
La integral anterior es convergente para sujeto a condiciones de crecimiento en . [4]
Prueba
GH Hardy [5] proporcionó una prueba sujeta a suposiciones "naturales" (aunque no las condiciones necesarias más débiles) del teorema maestro de Ramanujan, empleando el teorema del residuo y el conocido teorema de inversión de Mellin .
Aplicación a polinomios de Bernoulli
La función generadora de los polinomios de Bernoulli es dado por:
Estos polinomios se dan en términos de la función zeta de Hurwitz :
por por . Usando el teorema maestro de Ramanujan y la función generadora de polinomios de Bernoulli, se tiene la siguiente representación integral: [6]
que es válido para .
Aplicación a la función Gamma
Definición de Weierstrass de la función Gamma
es equivalente a expresión
dónde es la función zeta de Riemann .
Luego, aplicando el teorema maestro de Ramanujan tenemos:
valido para .
Casos especiales de y están
Referencias
- ^ Berndt, B. (1985). Cuadernos de Ramanujan, Parte I . Nueva York: Springer-Verlag.
- ^ González, Iván; Moll, VH; Schmidt, Iván (2011). "Un teorema maestro de Ramanujan generalizado aplicado a la evaluación de diagramas de Feynman". arXiv : 1103.0588 [ matemáticas-ph ].
- ^ Glaisher, JWL (1874). "Una nueva fórmula en integrales definidas". The London, Edinburgh y Dublin Philosophical Magazine y Journal of Science . 48 (315): 53–55. doi : 10.1080 / 14786447408641072 .
- ^ Amdeberhan, Tewodros; González, Iván; Harrison, Marshall; Moll, Victor H .; Straub, Armin (2012). "Teorema del maestro de Ramanujan". El diario Ramanujan . 29 (1-3): 103-120. CiteSeerX 10.1.1.232.8448 . doi : 10.1007 / s11139-011-9333-y . S2CID 8886049 .
- ^ Hardy, GH (1978). Ramanujan: Doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y obra (3ª ed.). Nueva York, NY: Chelsea. ISBN 978-0-8284-0136-4.
- ^ Espinosa, O .; Moll, V. (2002). "En algunas integrales definidas que involucran la función zeta de Hurwitz. Parte 2". El diario Ramanujan . 6 (4): 449–468. arXiv : matemáticas / 0107082 . doi : 10.1023 / A: 1021171500736 . S2CID 970603 .
enlaces externos
- "Teorema del maestro de Ramanujan" . mathworld.wolfram.com .
- "rmt" (PDF) . ArminStraub . Publicaciones.