En la teoría de números , una rama de las matemáticas , suma de Ramanujan , generalmente denotado c q ( n ), es una función de dos variables entero positivo q y n se define por la fórmula:
donde ( a , q ) = 1 significa que a solo toma valores coprime a q .
Srinivasa Ramanujan mencionó las sumas en un artículo de 1918. [1] Además de las expansiones discutidas en este artículo, las sumas de Ramanujan se utilizan en la demostración del teorema de Vinogradov de que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos . [2]
Para enteros una y b ,se lee " a divide b " y significa que hay un entero c tal que b = ac . Similar,se lee " a no divide b ". El símbolo de suma
significa que d pasa por todos los divisores positivos de m , p. ej.
es el máximo común divisor ,
es la función totient de Euler ,
es la función de Möbius , y
es la función zeta de Riemann .
Trigonometría
Estas fórmulas provienen de la definición, fórmula de Euler e identidades trigonométricas elementales.
y así sucesivamente ( OEIS : A000012 , OEIS : A033999 , OEIS : A099837 , OEIS : A176742 , .., OEIS : A100051 , ...) Muestran que c q ( n ) es siempre real.
Kluyver
Dejar Entonces ζ q es una raíz de la ecuación x q - 1 = 0 . Cada uno de sus poderes,
también es una raíz. Por lo tanto, dado que hay q de ellos, todos son raíces. Los númerosdonde 1 ≤ n ≤ q se denominan q -ésimas raíces de la unidad . ζ q se llama q primitiva -ésima raíz de la unidad porque el valor más pequeño de n que hacees q . Las otras raíces primitivas q -ésimas de la unidad son los númerosdonde ( a , q ) = 1. Por lo tanto, hay φ ( q ) primitivas q -ésimas raíces de unidad.
Por tanto, la suma de Ramanujan c q ( n ) es la suma de las n -ésimas potencias de las primitivas q -ésimas raíces de la unidad.
Es un hecho [3] que las potencias de ζ q son precisamente las raíces primitivas de todos los divisores de q .
Ejemplo. Sea q = 12. Entonces
- y son las duodécimas raíces primitivas de la unidad,
- y son las sextas raíces primitivas de la unidad,
- y son las cuartas raíces primitivas de la unidad,
- y son las terceras raíces primitivas de la unidad,
- es la segunda raíz primitiva de la unidad, y
- es la primera raíz primitiva de la unidad.
Por tanto, si
es la suma de las n -ésimas potencias de todas las raíces, primitivas e imprimitivas,
y por inversión de Möbius ,
De la identidad x q - 1 = ( x - 1) ( x q −1 + x q −2 + ... + x + 1) se sigue que
y esto lleva a la fórmula
publicado por Kluyver en 1906. [4]
Esto muestra que c q ( n ) es siempre un número entero. Compáralo con la fórmula
von Sterneck
Se muestra fácilmente a partir de la definición que c q ( n ) es multiplicativo cuando se considera como una función de q para un valor fijo de n : [5] es decir
A partir de la definición (o la fórmula de Kluyver) es sencillo demostrar que, si p es un número primo,
y si p k es una potencia prima donde k > 1,
Este resultado y la propiedad multiplicativa se pueden usar para demostrar
Esto se llama función aritmética de von Sterneck. [6] La equivalencia de la misma y la suma de Ramanujan se debe a Hölder. [7] [8]
Otras propiedades de c q ( n )
Para todos los enteros positivos q ,
Para un valor fijo de q el valor absoluto de la secuenciaestá acotado por φ ( q ), y para un valor fijo de n el valor absoluto de la secuenciaestá delimitado por n .
Si q > 1
Sea m 1 , m 2 > 0, m = lcm ( m 1 , m 2 ). Entonces [9] las sumas de Ramanujan satisfacen una propiedad de ortogonalidad :
Sea n , k > 0. Entonces [10]
conocida como la identidad Brauer - Rademacher .
Si n > 0 y a es un número entero, también tenemos [11]
debido a Cohen.
Si f ( n ) es una función aritmética (es decir, una función de valores complejos de los números enteros o naturales), entonces una serie infinita convergente de la forma:
o de la forma:
donde a k ∈ C , se denomina expansión de Ramanujan [12] de f ( n ).
Ramanujan encontró expansiones de algunas de las funciones conocidas de la teoría de números. Todos estos resultados se prueban de manera "elemental" (es decir, utilizando únicamente manipulaciones formales de series y los resultados más simples sobre la convergencia). [13] [14] [15]
La expansión de la función cero depende de un resultado de la teoría analítica de los números primos, a saber, que la serie
converge a 0, y los resultados para r ( n ) y r ′ ( n ) dependen de los teoremas de un artículo anterior. [dieciséis]
Todas las fórmulas de esta sección son del artículo de Ramanujan de 1918.
Funciones generadoras
Las funciones generadoras de las sumas de Ramanujan son series de Dirichlet :
es una función generadora para la secuencia c q (1), c q (2), ... donde q se mantiene constante, y
es una función generadora para la secuencia c 1 ( n ), c 2 ( n ), ... donde n se mantiene constante.
También existe la serie Doble Dirichlet
σ k ( n )
σ k ( n ) es la función del divisor (es decir, la suma de las k -ésimas potencias de los divisores de n , incluidos 1 y n ). σ 0 ( n ), el número de divisores de n , generalmente se escribe d ( n ) y σ 1 ( n ), la suma de los divisores de n , generalmente se escribe σ ( n ).
Si s > 0,
Establecer s = 1 da
Si la hipótesis de Riemann es cierta, y
d ( n )
d ( n ) = σ 0 ( n ) es el número de divisores de n , incluidos 1 y el propio n .
donde γ = 0.5772 ... es la constante de Euler-Mascheroni .
φ ( n )
Función totient de Euler φ ( n ) es el número de enteros positivos de menos de n y primos entre sí a n . Ramanujan define una generalización de la misma, si
es la factorización prima de n , y s es un número complejo, sea
de modo que φ 1 ( n ) = φ ( n ) es la función de Euler. [17]
Prueba que
y usa esto para mostrar que
Dejando s = 1,
Tenga en cuenta que la constante es la inversa [18] de la de la fórmula para σ ( n ).
Λ ( n )
Función de Von Mangoldt Λ ( n ) = 0 a menos que n = p k sea una potencia de un número primo, en cuyo caso es el logaritmo natural log p .
Cero
Para todo n > 0,
Esto es equivalente al teorema de los números primos . [19] [20]
r 2 s ( n ) (sumas de cuadrados)
r 2 s ( n ) es el número de formas de representar n como la suma de 2 s cuadrados , contando diferentes órdenes y signos como diferentes (por ejemplo, r 2 (13) = 8, como 13 = (± 2) 2 + ( ± 3) 2 = (± 3) 2 + (± 2) 2. )
Ramanujan define una función δ 2 s ( n ) y hace referencia a un artículo [21] en el que demostró que r 2 s ( n ) = δ 2 s ( n ) para s = 1, 2, 3 y 4. Para s > 4 muestra que δ 2 s ( n ) es una buena aproximación a r 2 s ( n ).
s = 1 tiene una fórmula especial:
En las siguientes fórmulas, los signos se repiten con un período de 4.
y por lo tanto,
(sumas de triángulos)
es el número de formas en que n se puede representar como la suma de 2 s números triangulares (es decir, los números 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15,. ..; el n -ésimo número triangular viene dado por la fórmula n ( n + 1) / 2.)
El análisis aquí es similar al de los cuadrados. Ramanujan se refiere al mismo papel que hizo para los cuadrados, donde mostró que hay una función tal que para s = 1, 2, 3 y 4, y para s > 4, es una buena aproximación a
Nuevamente, s = 1 requiere una fórmula especial:
Si s es un múltiplo de 4,
Por lo tanto,
Sumas
Dejar
Entonces para s > 1 ,