En matemáticas , el lema de normalización de Noether es el resultado del álgebra conmutativa , introducido por Emmy Noether en 1926. [1] Establece que para cualquier campo k , y cualquier k- álgebra A conmutativa generada finitamente , existe un entero no negativo d y elementos algebraicamente independientes y 1 , y 2 , ..., y d en A tales que A es un módulo finitamente generado sobre el anillo polinomial S = k [ y 1 , y 2 , ..., y d ].
El número entero d anterior se determina de forma única; es la dimensión Krull del anillo A . Cuando A es un dominio integral , d es también el grado de trascendencia del campo de fracciones de A sobre k .
El teorema tiene una interpretación geométrica. Suponga que A es integral. Sea S el anillo de coordenadas del espacio afín d - dimensional , y sea A el anillo de coordenadas de alguna otra variedad X afín d- dimensional . Entonces el mapa de inclusión S → A induce un morfismo finito sobreyectivo de variedades afines . La conclusión es que cualquier variedad afín es una cobertura ramificada de espacio afín. Cuando k es infinito, tal mapa de cobertura ramificado se puede construir tomando una proyección general de un espacio afín que contiene X a un subespacio d- dimensional.
De manera más general, en el lenguaje de los esquemas, el teorema puede expresarse de manera equivalente de la siguiente manera: todo esquema k afín (de tipo finito) X es finito en un espacio n- dimensional afín . El teorema se puede refinar para incluir una cadena de ideales de R (equivalentemente, subconjuntos cerrados de X ) que son finitos sobre los subespacios de coordenadas afines de las dimensiones apropiadas. [2]
La forma del lema de normalización de Noether mencionado anteriormente se puede utilizar como un paso importante para demostrar el Nullstellensatz de Hilbert . Esto le da una mayor importancia geométrica, al menos formalmente, ya que el Nullstellensatz subyace en el desarrollo de gran parte de la geometría algebraica clásica . El teorema también es una herramienta importante para establecer las nociones de dimensión de Krull para k -álgebras.
Prueba
La siguiente prueba se debe a Nagata y está tomada del libro rojo de Mumford. También se da una prueba del sabor geométrico en la página 127 del libro rojo y este hilo mathoverflow .
El anillo A en el lema se genera como un k- álgebra por elementos, digamos,. Iniciaremos en m . Si, entonces la afirmación es trivial. Asume ahora. Basta mostrar que hay un subanillo S de A generado porelementos, tales que A es finito sobre S. De hecho, por la hipótesis inductiva, podemos encontrar elementos algebraicamente independientesde S tal que S es finito sobre.
Dado que de lo contrario no habría nada que probar, también podemos suponer que hay un polinomio f distinto de cero en m variables sobre k tal que
- .
Dado un entero r que se determina más tarde, establezca
Entonces lo anterior dice:
- .
Ahora si es un monomio que aparece en , con coeficiente , el término más alto en después de expandir el producto parece
Siempre que el exponente anterior esté de acuerdo con el más alto exponente producido por algún otro monomio, es posible que el término más alto en de no será de la forma anterior, ya que puede verse afectada por la cancelación. Sin embargo, si r es mayor que cualquier exponente que aparece en f , entonces cadacodifica un número r base único , por lo que esto no ocurre. Por lo tanto es integral sobre . Desdetambién son integral sobre ese anillo, A es integral sobre S . Se sigue que A es finito sobre S, y dado que S es generado por m-1 elementos, por la hipótesis inductiva hemos terminado.
Si A es un dominio integral, entonces d es el grado de trascendencia de su campo de fracciones. De hecho, A ytienen el mismo grado de trascendencia (es decir, el grado del campo de fracciones) ya que el campo de fracciones de A es algebraico sobre el de S (ya que A es integral sobre S ) y S tiene un grado de trascendencia d . Por lo tanto, queda por mostrar que la dimensión de Krull del anillo polinomial S es d . (Esto también es una consecuencia de la teoría de la dimensión ). Se induce en d , con el casosiendo trivial. Desdees una cadena de ideales primarios, la dimensión es al menos d . Para obtener la estimación inversa, dejeser una cadena de ideales primordiales. Dejar. Aplicamos la normalización noether y obtenemos(en el proceso de normalización, somos libres de elegir la primera variable) de forma que S es integral sobre T . Por la hipótesis inductiva,tiene dimensión d - 1. Por incomparabilidad , es una cadena de longitud y luego, en , se convierte en una cadena de longitud . Desde, tenemos . Por eso,.
Refinamiento
El siguiente refinamiento aparece en el libro de Eisenbud, que se basa en la idea de Nagata: [2]
Teorema - Sea A un álgebra generada finitamente sobre un campo k , y ser una cadena de ideales tal que Entonces existen elementos algebraicamente independientes y 1 , ..., y d en A tales que
- A es un módulo generado finitamente sobre el subanillo polinomial S = k [ y 1 , ..., y d ].
- .
- Si el 's son homogéneos, entonces y i 's pueden tomarse como homogéneos.
Además, si k es un campo infinito, entonces cualquier elección suficientemente general de y I tiene la Propiedad 1 anterior ("suficientemente general" se precisa en la demostración).
Geométricamente hablando, la última parte del teorema dice que para cualquier proyección lineal general induce un morfismo finito (cf. el lede); además de Eisenbud, véase también [1] .
Corolario - Sea A un dominio integral que es un álgebra generada finitamente sobre un campo. Sies un ideal primo de A , entonces
- .
En particular, la dimensión de Krull de la localización de A en cualquier ideal máximo es A tenue .
Corolario - Letser dominios integrales que son álgebras generadas finitamente sobre un campo. Luego
(el caso especial de la fórmula de altitud de Nagata ).
Aplicación ilustrativa: libertad genérica
La prueba de la libertad genérica (la declaración más adelante) ilustra una aplicación típica, pero no trivial, del lema de normalización. La libertad genérica dice: deja ser anillos tales que es un dominio integral noetheriano y supongamos que hay un homomorfismo de anillo que exhibe como un álgebra generada finitamente sobre . Entonces hay algunos tal que es gratis -módulo.
Dejar ser el campo de fracción de. Argumentamos por inducción sobre la dimensión de Krull de. El caso básico es cuando la dimensión de Krull es; es decir,. Es decir, hay algunos tal que y entonces es gratis como un -módulo. Para el paso inductivo, tenga en cuenta es un finitamente generado -álgebra. Por lo tanto, según el lema de normalización de Noether, contiene elementos algebraicamente independientes tal que es finito sobre el anillo polinomial . Multiplicando cada uno por elementos de , podemos asumir estan en . Ahora consideramos:
No tiene por qué ser el caso que es finito sobre . Pero ese será el caso después de invertir un solo elemento, como sigue. Si es un elemento de , entonces, como un elemento de , es integral sobre ; es decir, para algunos en . Por lo tanto, algunos mata todos los denominadores de los coeficientes de y entonces es integral sobre . Elegir algunos generadores finitos de como un -algebra y aplicando esta observación a cada generador, encontramos algunos tal que es integral (por lo tanto, finito) sobre . Reemplazar por y luego podemos asumir es finito sobre . Para terminar, considere una filtración finita por -submódulos tales que por ideales primordiales (tal filtración existe por la teoría de los números primos asociados ). Para cada i , si, por hipótesis inductiva, podemos elegir algunos en tal que es gratis como un -módulo, mientras es un anillo polinomial y, por tanto, libre. Por lo tanto, con, es un módulo gratuito sobre .
Notas
- ↑ Noether, 1926
- ↑ a b Eisenbud 1995 , Teorema 13.3
Referencias
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR 1322960 , Zbl 0.819,13001
- "Teorema de Noether" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]. Nota: el lema está en los comentarios de actualización.
- Noether, Emmy (1926), "Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p " , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 28–35, archivado desde el original el 8 de marzo de 2013
Otras lecturas
- Robertz, D .: Normalización de Noether guiada por descomposiciones de conos monomiales. J. Computación simbólica. 44 (10), 1359-1373 (2009)