El análisis de matriz de transferencia de rayos (también conocido como análisis de matriz ABCD ) es una forma matemática para realizar cálculos de trazado de rayos en problemas suficientemente simples que se pueden resolver considerando solo rayos paraxiales. Cada elemento óptico (superficie, interfaz, espejo o recorrido del haz) se describe mediante una matriz de transferencia de rayos 2 × 2 que opera en un vector que describe un rayo de luz entrante para calcular el rayo saliente. La multiplicación de las sucesivas matrices produce así una matriz de transferencia de rayos concisa que describe todo el sistema óptico. Las mismas matemáticas también se utilizan en la física de aceleradores para rastrear partículas a través de las instalaciones de imanes de unacelerador de partículas , ver óptica electrónica .
Esta técnica, como se describe a continuación, se deriva utilizando la aproximación paraxial , que requiere que todas las direcciones de los rayos (direcciones normales a los frentes de onda) estén en ángulos pequeños θ con respecto al eje óptico del sistema, de modo que la aproximaciónpermanece válido. Un pequeño θ implica además que la extensión transversal de los haces de rayos ( x y Y ) es pequeño comparado con la longitud del sistema óptico (por lo tanto "paraxial"). Dado que un sistema de imágenes decente donde este no es el caso para todos los rayos debe enfocar los rayos paraxiales correctamente, este método de matriz describirá adecuadamente las posiciones de los planos focales y aumentos, sin embargo, las aberraciones aún deben evaluarse utilizando técnicas completas de trazado de rayos . [1]
Definición de la matriz de transferencia de rayos
La técnica de trazado de rayos se basa en dos planos de referencia, llamados planos de entrada y salida , cada uno perpendicular al eje óptico del sistema. En cualquier punto a lo largo del tren óptico se define un eje óptico correspondiente a un rayo central; ese rayo central se propaga para definir más el eje óptico en el tren óptico que no necesita estar en la misma dirección física (como cuando se dobla por un prisma o espejo). Las direcciones transversales x e y (por debajo sólo tenemos en cuenta la x dirección) se definen entonces para ser ortogonal a los ejes ópticos se aplican. Un rayo de luz entra en un componente que cruza su plano de entrada a una distancia x 1 del eje óptico, viajando en una dirección que forma un ángulo θ 1 con el eje óptico. Después de la propagación al plano de salida, ese rayo se encuentra a una distancia x 2 del eje óptico y en un ángulo θ 2 con respecto a él. n 1 y n 2 son los índices de refracción de los medios en el plano de entrada y salida, respectivamente.
La matriz ABCD que representa un componente o sistema relaciona el rayo de salida con la entrada de acuerdo con
donde los valores de los 4 elementos de la matriz están dados por
y
Esto relaciona los vectores de rayos en los planos de entrada y salida mediante la matriz de transferencia de rayos (RTM) M , que representa el componente o sistema óptico presente entre los dos planos de referencia. Se puede utilizar un argumento termodinámico basado en la radiación del cuerpo negro para demostrar que el determinante de un RTM es la relación de los índices de refracción:
Como resultado, si los planos de entrada y salida están ubicados dentro del mismo medio, o dentro de dos medios diferentes que tienen índices de refracción idénticos, entonces el determinante de M es simplemente igual a 1.
Puede emplearse una convención diferente [2] para los vectores de rayos. En lugar de usar θ ≈sin θ , el segundo elemento del vector de rayo es n sen θ , que es proporcional no al ángulo del rayo per se sino a la componente transversal del vector de onda . Esto altera las matrices ABCD dadas en la siguiente tabla donde está involucrada la refracción en una interfaz.
El uso de matrices de transferencia de esta manera es paralelo a las matrices 2 × 2 que describen redes electrónicas de dos puertos , en particular varias matrices denominadas ABCD que se pueden multiplicar de manera similar para resolver sistemas en cascada.
Algunos ejemplos
- Por ejemplo, si hay espacio libre entre los dos planos, la matriz de transferencia de rayos viene dada por: donde d es la distancia de separación (medida a lo largo del eje óptico) entre los dos planos de referencia. La ecuación de transferencia de rayos se convierte así en:y esto relaciona los parámetros de los dos rayos como:
- Otro ejemplo sencillo es el de una lente delgada . Su RTM viene dado por: donde f es la distancia focal de la lente. Para describir combinaciones de componentes ópticos, las matrices de transferencia de rayos se pueden multiplicar juntas para obtener un RTM general para el sistema óptico compuesto. Para el ejemplo de espacio libre de longitud d seguido de una lente de distancia focal f :
Tenga en cuenta que, dado que la multiplicación de matrices no es conmutativa , este no es el mismo RTM que para una lente seguida de espacio libre:
Por lo tanto, las matrices deben ordenarse apropiadamente, con la última matriz premultiplicando a la penúltima, y así sucesivamente hasta que la primera matriz se premultiplica por la segunda. Se pueden construir otras matrices para representar interfaces con medios de diferentes índices de refracción , reflexión de espejos , etc.
Tabla de matrices de transferencia de rayos
para componentes ópticos simples
Elemento | Matriz | Observaciones |
---|---|---|
Propagación en espacio libre o en un medio de índice de refracción constante | d = distancia | |
Refracción en una interfaz plana | n 1 = índice de refracción inicial n 2 = índice de refracción final. | |
Refracción en una interfaz curva | R = radio de curvatura, R > 0 para convexo (centro de curvatura después de la interfaz) n 1 = índice de refracción inicial | |
Reflexión de un espejo plano | Válido para espejos planos orientados en cualquier ángulo al haz entrante. Tanto el rayo como el eje óptico se reflejan por igual, por lo que no hay un cambio neto en la pendiente o la posición. | |
Reflexión de un espejo curvo | radio de curvatura efectivo en el plano tangencial (dirección horizontal) radio de curvatura efectivo en el plano sagital (dirección vertical) | |
Lente delgada | f = distancia focal de la lente donde f > 0 para lentes convexas / positivas (convergentes). Solo válido si la distancia focal es mucho mayor que el grosor de la lente. | |
Lente gruesa | n 1 = índice de refracción fuera de la lente. n 2 = índice de refracción de la propia lente (dentro de la lente). | |
Prisma único | es el factor de expansión del haz , donde es el ángulo de incidencia, es el ángulo de refracción, d = longitud de la trayectoria del prisma, n = índice de refracción del material del prisma. Esta matriz se aplica a la salida del haz ortogonal. [3] | |
Expansor de haz de prisma múltiple con prismas r | M es el aumento total del haz dado por, donde k se define en la entrada anterior y B es la distancia de propagación óptica total [ aclaración necesaria ] del expansor de prismas múltiples. [3] |
Estabilidad del resonador
El análisis RTM es particularmente útil al modelar el comportamiento de la luz en resonadores ópticos , como los que se utilizan en los láseres. En su forma más simple, un resonador óptico consta de dos espejos enfrentados idénticos de 100% de reflectividad y radio de curvatura R , separados por una cierta distancia d . A los efectos del trazado de rayos, esto equivale a una serie de lentes delgadas idénticas de longitud focal f = R / 2, cada una separada de la siguiente por la longitud d . Esta construcción se conoce como conducto equivalente a una lente o guía de ondas equivalente a una lente . El RTM de cada sección de la guía de ondas es, como se indicó anteriormente,
- .
El análisis RTM ahora se puede utilizar para determinar la estabilidad de la guía de ondas (y de manera equivalente, el resonador). Es decir, se puede determinar en qué condiciones la luz que viaja por la guía de ondas se reenfocará periódicamente y permanecerá dentro de la guía de ondas. Para ello, podemos encontrar todos los "rayos propios" del sistema: el vector de rayo de entrada en cada una de las secciones mencionadas de la guía de ondas multiplicado por un factor real o complejo λ es igual al de salida. Esto da:
que es una ecuación de valor propio :
donde I es la matriz identidad 2 × 2 .
Procedemos a calcular los autovalores de la matriz de transferencia:
que conduce a la ecuación característica
dónde
es el rastro del RTM, y
es el determinante de la RTM. Después de una sustitución común tenemos:
dónde
es el parámetro de estabilidad . Los valores propios son las soluciones de la ecuación característica. De la fórmula cuadrática encontramos
Ahora, considere un rayo después de que N pase a través del sistema:
Si la guía de ondas es estable, ningún rayo debe alejarse arbitrariamente del eje principal, es decir, λ N no debe crecer sin límite. Suponer. Entonces ambos valores propios son reales. Desde, uno de ellos tiene que ser mayor que 1 (en valor absoluto), lo que implica que el rayo que corresponde a este autovector no convergería. Por lo tanto, en una guía de ondas estable, ≤ 1, y los valores propios se pueden representar mediante números complejos:
con la sustitución g = cos ( ϕ ).
Para dejar y ser los autovectores con respecto a los autovalores y respectivamente, que abarcan todo el espacio vectorial porque son ortogonales, el último debido a . Por tanto, el vector de entrada se puede escribir como
para algunas constantes y .
Después de N sectores de guía de ondas, la salida se lee
que representa una función periódica.
Matrices de transferencia de rayos para haces gaussianos
Las mismas matrices también se pueden utilizar para calcular la evolución de los haces gaussianos . [4] que se propaga a través de componentes ópticos descritos por las mismas matrices de transmisión. Si tenemos un haz gaussiano de longitud de onda, radio de curvatura R (positivo para divergencia, negativo para convergencia), tamaño del punto del haz w e índice de refracción n , es posible definir un parámetro de haz complejo q mediante: [5]
( R , w , y q son funciones de la posición). Si el eje del haz se encuentra en la z dirección, con la cintura eny la gama Rayleigh , esto se puede escribir de forma equivalente como [5]
Este haz se puede propagar a través de un sistema óptico con una matriz de transferencia de rayos determinada utilizando la ecuación [ se necesita más explicación ] :
donde k es una constante de normalización elegida para mantener el segundo componente del vector de rayos igual a 1. Usando la multiplicación de matrices , esta ecuación se expande como
y
Dividir la primera ecuación por la segunda elimina la constante de normalización:
Suele ser conveniente expresar esta última ecuación en forma recíproca:
Ejemplo: espacio libre
Considere un rayo que viaja una distancia d a través del espacio libre, la matriz de transferencia de rayos es
y entonces
coherente con la expresión anterior para la propagación del haz gaussiano ordinario, es decir . A medida que el rayo se propaga, tanto el radio como la cintura cambian.
Ejemplo: lente delgada
Considere un rayo que viaja a través de una lente delgada con una distancia focal f . La matriz de transferencia de rayos es
- .
y entonces
Solo la parte real de 1 / q se ve afectada: la curvatura del frente de onda 1 / R se reduce por la potencia de la lente 1 / f , mientras que el tamaño del haz lateral w permanece sin cambios al salir de la lente delgada.
Matrices de rango superior
Los métodos que utilizan matrices de transferencia de mayor dimensionalidad, es decir, 3 × 3, 4 × 4 y 6 × 6, también se utilizan en el análisis óptico [6] [7] [8] En particular, las matrices de propagación 4 × 4 se utilizan en el diseño y análisis de secuencias de prismas para compresión de pulsos en láseres de femtosegundos . [3]
Ver también
- Método de matriz de transferencia (óptica)
- Transformación canónica lineal
Referencias
- ^ Aquí se incluye la extensión de los métodos matriciales para trazar rayos meridionales (no paraxiales).
- ^ Gerrard, Anthony; Burch, James M. (1994). Introducción a los métodos matriciales en óptica . Mensajero Dover. ISBN 9780486680446.
- ^ a b c FJ Duarte (2003). Óptica láser sintonizable . Nueva York: Elsevier-Academic. Capítulo 6.
- ^ Rashidian vaziri, MR (2013). "Nuevo modelo de conductos para analizar la propagación del haz gaussiano en medios Kerr no lineales y su aplicación a modulaciones espaciales de autofase". Revista de óptica . 15 (3): 035202. Bibcode : 2013JOpt ... 15c5202R . doi : 10.1088 / 2040-8978 / 15/3/035202 .
- ^ a b C. Tim Lei. "Página web de Física 4510 Óptica" .especialmente el Capítulo 5
- ^ W. Brouwer, Métodos matriciales en el diseño de instrumentos ópticos (Benjamin, Nueva York, 1964).
- ^ AE Siegman , Láseres (Libros de ciencia de la Universidad, Mill Valley, 1986).
- ^ H. Wollnik, Óptica de partículas cargadas (académico, Nueva York, 1987).
Otras lecturas
- Bahaa EA Saleh y Malvin Carl Teich (1991). Fundamentos de la fotónica . Nueva York: John Wiley & Sons. Sección 1.4, págs. 26 - 36.
enlaces externos
- Lentes gruesas (métodos de matriz)
- Tutorial de matrices ABCD Proporciona un ejemplo de una matriz de sistema de un sistema completo.
- Calculadora ABCD Una calculadora interactiva para ayudar a resolver matrices ABCD.
- Simple Optical Designer (aplicación de Android) Una aplicación para explorar sistemas ópticos utilizando el método de matriz ABCD.