Sistema de reacción-difusión

Una simulación de dos sustancias químicas virtuales que reaccionan y se difunden en un Torus utilizando el modelo de Gray-Scott

Los sistemas de reacción-difusión son modelos matemáticos que corresponden a varios fenómenos físicos. El más común es el cambio en el espacio y el tiempo de la concentración de una o más sustancias químicas: reacciones químicas locales en las que las sustancias se transforman entre sí, y difusión que hace que las sustancias se esparzan por una superficie en el espacio.

Los sistemas de reacción-difusión se aplican naturalmente en química . Sin embargo, el sistema también puede describir procesos dinámicos de naturaleza no química. Se encuentran ejemplos en biología , geología y física (teoría de la difusión de neutrones) y ecología . Matemáticamente, los sistemas de reacción-difusión toman la forma de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas semilineales . Se pueden representar en forma general.

{\ Displaystyle \ partial _ {t} {\ boldsymbol {q}} = {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {D}}}} \, \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {q}} + {\ símbolo en negrita {R}} ({\ símbolo en negrita {q}}),}

donde $q (x, t)$ representa la función vectorial desconocida, $D$ es una matriz diagonal de coeficientes de difusión y $R$ representa todas las reacciones locales. Las soluciones de las ecuaciones de reacción-difusión muestran una amplia gama de comportamientos, incluida la formación de ondas viajeras y fenómenos ondulatorios, así como otros patrones autoorganizados como rayas, hexágonos o estructuras más intrincadas como solitones disipativos . Estos patrones se han denominado " patrones de Turing ". ^[1]Cada función, para la cual se cumple una ecuación diferencial de difusión de reacción, representa de hecho una variable de concentración .

Ecuaciones de reacción-difusión de un componente

La ecuación de reacción-difusión más simple está en una dimensión espacial en geometría plana,

{\ estilo de visualización \ parcial _ {t} u = D \ parcial _ {x} ^ {2} u + R (u),}

también se conoce como la ecuación de Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov . ^[2] Si el término de reacción desaparece, entonces la ecuación representa un proceso de difusión puro. La ecuación correspondiente es la segunda ley de Fick . La elección $R (u) = u (1 - u)$ produce la ecuación de Fisher que se utilizó originalmente para describir la propagación de poblaciones biológicas , ^[3] la ecuación de Newell-Whitehead-Segel con $R (u) = u (1 - u 2)$ para describirConvección de Rayleigh-Bénard , ^[4]^[5] la ecuación de Zeldovich más general con $R (u) = u (1 - u) (u - α)$ y $0 < α <1$ que surge en la teoría de la combustión , ^[6] y su caso particular degenerado con $R (u) = u 2 - u 3$ que a veces también se conoce como la ecuación de Zeldovich. ^[7]

La dinámica de los sistemas de un componente está sujeta a ciertas restricciones, ya que la ecuación de evolución también se puede escribir en forma variacional.

{\ estilo de visualización \ parcial _ {t} u = - {\ frac {\ delta {\ mathfrak {L}}} {\ delta u}}}

y por lo tanto describe una disminución permanente de la "energía libre" dada por el funcional ${\ Displaystyle {\ mathfrak {L}}}$

{\ Displaystyle {\ mathfrak {L}} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left [{\ tfrac {D} {2}} \ left (\ partial _ {x} u \ right) ^ {2} -V (u) \ right] \, {\ text {d}} x}

con un potencial $V (u)$ tal que $R (u) = d V (u) / d u .$

Una solución de frente de onda viajera para la ecuación de Fisher.

En sistemas con más de una solución homogénea estacionaria, una solución típica viene dada por los frentes móviles que conectan los estados homogéneos. Estas soluciones se mueven con rapidez constante sin cambiar su forma y tienen la forma $u (x, t) = û (ξ)$ con $ξ = x - ct$ , donde $c$ es la rapidez de la onda viajera. Tenga en cuenta que, si bien las ondas viajeras son estructuras genéricamente estables, todas las soluciones estacionarias no monótonas (por ejemplo, dominios localizados compuestos por un par frontal-antifronte) son inestables. Para $c = 0$ , hay una prueba simple para esta declaración:^[8] si $u 0 (x)$ es una solución estacionaria y $u = u 0 (x) + ũ (x, t)$ es una solución infinitesimalmente perturbada, el análisis de estabilidad lineal produce la ecuación

{\ estilo de visualización \ parcial _ {t} {\ tilde {u}} = D \ parcial _ {x} ^ {2} {\ tilde {u}} - U (x) {\ tilde {u}}, \ qquad U (x) = - R ^ {\ prime} (u) {\ Big |} _ {u = u_ {0} (x)}.}

Con ansatz $ũ = ψ (x) exp (- λt)$ llegamos al problema de valores propios

{\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),

de tipo Schrödinger donde los valores propios negativos dan como resultado la inestabilidad de la solución. Debido a la invariancia traslacional $ψ = \partial x u 0 (x)$ es una función propia neutra con el valor propio $λ = 0$ , y todas las demás funciones propias se pueden clasificar de acuerdo con un número creciente de nudos con la magnitud del valor propio real correspondiente que aumenta monótonamente con el número de ceros. La función propia $ψ = \partial x u 0 (x)$ debe tener al menos un cero, y para una solución estacionaria no monótona, el valor propio correspondiente $λ = 0$ no puede ser el más bajo, lo que implica inestabilidad.

Para determinar la velocidad $c$ de un frente en movimiento, se puede ir a un sistema de coordenadas en movimiento y buscar soluciones estacionarias:

D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.

Esta ecuación tiene un análogo mecánico agradable como el movimiento de una masa $D$ con posición $û$ en el curso del "tiempo" $ξ$ bajo la fuerza $R$ con el coeficiente de amortiguamiento c que permite un acceso bastante ilustrativo a la construcción de diferentes tipos de soluciones. y la determinación de $c$ .

Al pasar de una a más dimensiones espaciales, aún se pueden aplicar varias declaraciones de sistemas unidimensionales. Los frentes de onda planos o curvos son estructuras típicas, y surge un nuevo efecto cuando la velocidad local de un frente curvo se vuelve dependiente del radio de curvatura local (esto se puede ver yendo a las coordenadas polares ). Este fenómeno conduce a la denominada inestabilidad impulsada por la curvatura. ^[9]

Ecuaciones de reacción-difusión de dos componentes

Los sistemas de dos componentes permiten una gama mucho más amplia de posibles fenómenos que sus homólogos de un componente. Una idea importante que fue propuesta por primera vez por Alan Turing es que un estado que es estable en el sistema local puede volverse inestable en presencia de difusión . ^[10]

Sin embargo, un análisis de estabilidad lineal muestra que al linealizar el sistema general de dos componentes

{\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}

una perturbación de onda plana

{\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}

de la solución homogénea estacionaria satisfará

{\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}+{\boldsymbol {R}}^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{pmatrix}}.

La idea de Turing solo se puede realizar en cuatro clases de equivalencia de sistemas caracterizados por los signos de la $R$ $'$ jacobiana de la función de reacción. En particular, si se supone que un vector de onda finito $k$ es el más inestable, el jacobiano debe tener los signos

{\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.

Esta clase de sistemas recibe el nombre de sistema activador-inhibidor en honor a su primer representante: cerca del estado fundamental, un componente estimula la producción de ambos componentes mientras que el otro inhibe su crecimiento. Su representante más destacado es la ecuación de FitzHugh-Nagumo

{\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}

con $f$ $($ $u$ $) =$ $λu$ $-$ $u$ $3$ $-$ $κ$ que describe cómo un potencial de acción viaja a través de un nervio. ^[11]^[12] Aquí, $d$ $u$ $,$ $d$ $v$ $,$ $τ$ $,$ $σ$ y $λ$ son constantes positivas.

Cuando un sistema activador-inhibidor sufre un cambio de parámetros, se puede pasar de condiciones en las que un estado fundamental homogéneo es estable a condiciones en las que es linealmente inestable. La bifurcación correspondiente puede ser una bifurcación de Hopf a un estado homogéneo de oscilación global con un número de onda dominante $k = 0$ o una bifurcación de Turing a un estado de patrón global con un número de onda finito dominante. Este último en dos dimensiones espaciales típicamente conduce a patrones de rayas o hexagonales.

Bifurcación de Turing subcrítica: formación de un patrón hexagonal a partir de las ruidosas condiciones iniciales en el sistema de reacción-difusión de dos componentes anterior del tipo Fitzhugh-Nagumo.
Condiciones iniciales ruidosas en t = 0.
Estado del sistema en t = 10.
Estado casi convergente en t = 100.

Para el ejemplo de Fitzhugh-Nagumo, las curvas de estabilidad neutra que marcan el límite de la región linealmente estable para la bifurcación de Turing y Hopf están dadas por

{\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}

Si la bifurcación es subcrítica, a menudo se pueden observar estructuras localizadas ( solitones disipativos ) en la región histerética donde el patrón coexiste con el estado fundamental. Otras estructuras que se encuentran con frecuencia comprenden trenes de pulsos (también conocidos como ondas viajeras periódicas ), ondas espirales y patrones de objetivos. Estos tres tipos de solución también son características genéricas de ecuaciones de reacción-difusión de dos (o más) componentes en las que la dinámica local tiene un ciclo límite estable ^[13]

Otros patrones encontrados en el sistema de difusión-reacción de dos componentes anterior del tipo Fitzhugh-Nagumo.
Espiral giratoria.
Patrón de destino.
Pulso estacionario localizado (solitón disipativo).

Ecuaciones de reacción-difusión de tres o más componentes

Para una variedad de sistemas, se han propuesto ecuaciones de reacción-difusión con más de dos componentes, por ejemplo, la reacción de Belousov-Zhabotinsky , ^[14] para la coagulación sanguínea ^[15] o sistemas de descarga de gas planar . ^[dieciséis]

Se sabe que los sistemas con más componentes permiten una variedad de fenómenos que no son posibles en sistemas con uno o dos componentes (por ejemplo, pulsos de funcionamiento estable en más de una dimensión espacial sin retroalimentación global). ^[17] Se ofrece una introducción y una visión general sistemática de los posibles fenómenos que dependen de las propiedades del sistema subyacente. ^[18]

Aplicaciones y universalidad

En los últimos tiempos, los sistemas de reacción-difusión han atraído mucho interés como modelo prototipo para la formación de patrones . ^[19] Los patrones antes mencionados (frentes, espirales, blancos, hexágonos, franjas y solitones disipativos) se pueden encontrar en varios tipos de sistemas de reacción-difusión a pesar de grandes discrepancias, por ejemplo, en los términos de reacción local. También se ha argumentado que los procesos de reacción-difusión son una base esencial para los procesos relacionados con la morfogénesis en biología ^[20]^[21] e incluso pueden estar relacionados con el pelaje de los animales y la pigmentación de la piel. ^[22]^[23] Otras aplicaciones de las ecuaciones de reacción-difusión incluyen invasiones ecológicas, ^[24] propagación de epidemias,^[25] crecimiento tumoral^[26]^[27]^[28] y cicatrización de heridas. ^[29] Otra razón del interés en los sistemas de reacción-difusión es que, aunque son ecuaciones diferenciales parciales no lineales, a menudo hay posibilidades de un tratamiento analítico. ^[8]^[9]^[30]^[31]^[32]^[19]

Experimentos

Los experimentos bien controlables en sistemas de reacción-difusión química se han realizado hasta ahora de tres formas. En primer lugar, se pueden utilizar reactores de gel ^[33] o tubos capilares llenos ^[34] . En segundo lugar, se han investigado los pulsos de temperatura sobre superficies catalíticas . ^[35]^{[36] En} tercer lugar, la propagación de los pulsos nerviosos en funcionamiento se modela mediante sistemas de reacción-difusión. ^[11]^[37]

Aparte de estos ejemplos genéricos, ha resultado que, en circunstancias apropiadas, los sistemas de transporte eléctrico como plasmas ^[38] o semiconductores ^[39] pueden describirse en un enfoque de reacción-difusión. Para estos sistemas se han llevado a cabo varios experimentos sobre la formación de patrones.

Tratamientos numéricos

Un sistema de reacción-difusión puede resolverse utilizando métodos de matemáticas numéricas . Existen varios tratamientos numéricos en la literatura de investigación. ^[40]^[19]^[41] También se proponen métodos de solución numérica para geometrías complejas . ^[42]^[43] Con el mayor grado de detalle, los sistemas de reacción-difusión se describen con herramientas de simulación basadas en partículas como SRSim o ReaDDy ^[44] que emplean, por ejemplo, dinámicas de reacción de partículas interactivas reversibles. ^[45]

Ver también

Autowave
Reacción controlada por difusión
Cinética química
Método de espacio de fase
Reacciones autocatalíticas y creación de pedidos
Formación de patrones
Patrones en la naturaleza
Onda viajera periódica
Geometría estocástica
MClone
La base química de la morfogénesis
Patrón de Turing
Modelado multiestado de biomoléculas

Ejemplos de

Ecuación de Fisher
Ecuación de Fisher-Kolmogorov
Modelo de FitzHugh-Nagumo
Pintura antiarrugas

Referencias

^ Wooley, TE, Baker, RE , Maini, PK , Capítulo 34, Teoría de la morfogénesis de Turing . En Copeland, B. Jack ; Bowen, Jonathan P .; Wilson, Robin ; Sprevak, Mark (2017). La guía de Turing . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0198747826.
^ Kolmogorov, A., Petrovskii, I. y Piskunov, N. (1937) Estudio de una ecuación de difusión relacionada con el crecimiento de una calidad de materia y su aplicación a un problema biológico. Boletín de Matemáticas de la Universidad de Moscú, 1, 1-26.
^ RA Fisher, Ann. EU G. 7 (1937): 355
^ Newell, Alan C .; Whitehead, JA (3 de septiembre de 1969). "Ancho de banda finito, convección de amplitud finita". Revista de Mecánica de Fluidos . Cambridge University Press (CUP). 38 (2): 279-303. Código bibliográfico : 1969JFM .... 38..279N . doi : 10.1017 / s0022112069000176 . ISSN 0022-1120 .
^ Segel, Lee A. (14 de agosto de 1969). "Las paredes laterales distantes provocan una modulación de amplitud lenta de la convección celular". Revista de Mecánica de Fluidos . Cambridge University Press (CUP). 38 (1): 203–224. Código bibliográfico : 1969JFM .... 38..203S . doi : 10.1017 / s0022112069000127 . ISSN 0022-1120 .
^ YB Zeldovich y DA Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341
^ BH Gilding y R. Kersner, Ondas viajeras en la reacción de convección de difusión no lineal , Birkhäuser (2004)
^ a b P. C. Fife, Aspectos matemáticos de los sistemas de reacción y difusión , Springer (1979)
^ a b A. S. Mikhailov, Fundamentos de Synergetics I. Distributed Active Systems, Springer (1990)
^ Turing, AM (14 de agosto de 1952). "La base química de la morfogénesis" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie B, Ciencias Biológicas . La Royal Society. 237 (641): 37–72. Código Bibliográfico : 1952RSPTB.237 ... 37T . doi : 10.1098 / rstb.1952.0012 . ISSN 2054-0280 .
↑ a b FitzHugh, Richard (1961). "Impulsos y estados fisiológicos en modelos teóricos de membrana nerviosa" . Revista biofísica . Elsevier BV. 1 (6): 445–466. Código Bibliográfico : 1961BpJ ..... 1..445F . doi : 10.1016 / s0006-3495 (61) 86902-6 . ISSN 0006-3495 . PMC 1366333 . PMID 19431309 .
^ J. Nagumo y col., Proc. Inst. Radio Engin. Electr. 50 (1962): 2061
↑ Kopell, N .; Howard, LN (1973). "Soluciones de onda plana a ecuaciones de reacción-difusión". Estudios de Matemática Aplicada . Wiley. 52 (4): 291–328. doi : 10.1002 / sapm1973524291 . ISSN 0022-2526 .
↑ Vanag, Vladimir K .; Epstein, Irving R. (24 de marzo de 2004). "Patrones localizados estacionarios y oscilatorios y bifurcaciones subcríticas". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 92 (12): 128301. doi : 10.1103 / physrevlett.92.128301 . ISSN 0031-9007 . PMID 15089714 .
^ Lobanova, ES; Ataullakhanov, FI (26 de agosto de 2004). "Ejecución de pulsos de forma compleja en un modelo de reacción-difusión". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 93 (9): 098303. doi : 10.1103 / physrevlett.93.098303 . ISSN 0031-9007 . PMID 15447151 .
^ H.-G. Purwins y col. en: Solitones disipativos, Lectures Notes in Physics, Ed. N. Akhmediev y A. Ankiewicz, Springer (2005)
^ Schenk, CP; Or-Guil, M .; Bode, M .; Purwins, H.-G. (12 de mayo de 1997). "Pulsos interactivos en sistemas de reacción-difusión de tres componentes en dominios bidimensionales". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 78 (19): 3781–3784. doi : 10.1103 / physrevlett.78.3781 . ISSN 0031-9007 .
^ AW Liehr: Solitones disipativos en sistemas de difusión de reacción. Mecanismo, dinámica, interacción. Volumen 70 de Springer Series in Synergetics, Springer, Berlín Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2
^ a b c Gupta, Ankur; Chakraborty, Saikat (enero de 2009). "Análisis de estabilidad lineal de modelos de alta y baja dimensión para describir la formación de patrones de mezcla limitada en reactores autocatalíticos homogéneos". Revista de Ingeniería Química . 145 (3): 399–411. doi : 10.1016 / j.cej.2008.08.025 . ISSN 1385-8947 .
^ LG Harrison, Teoría cinética del patrón de vida, Cambridge University Press (1993)
^ Duran-Nebreda, Salva; Pla, Jordi; Vidiella, Blai; Piñero, Jordi; Conde-Pueyo, Nuria; Solé, Ricard (15 de enero de 2021). "Inhibición lateral sintética en patrones periódicos que forman colonias microbianas" . Biología sintética ACS . 10 (2): 277–285. doi : 10.1021 / acssynbio.0c00318 . ISSN 2161-5063 . PMID 33449631 .
^ H. Meinhardt, Modelos de formación de patrones biológicos, Academic Press (1982)
^ Murray, James D. (9 de marzo de 2013). Biología Matemática . Springer Science & Business Media. págs. 436–450. ISBN 978-3-662-08539-4.
^ Holmes, EE; Lewis, MA; Banks, JE; Veit, RR (1994). "Ecuaciones diferenciales parciales en ecología: interacciones espaciales y dinámica de poblaciones". Ecología . Wiley. 75 (1): 17-29. doi : 10.2307 / 1939378 . ISSN 0012-9658 . JSTOR 1939378 .
^ Murray, James D .; Stanley, EA; Brown, DL (22 de noviembre de 1986). "Sobre la propagación espacial de la rabia entre los zorros". Actas de la Royal Society of London. Serie B. Ciencias Biológicas . La Royal Society. 229 (1255): 111–150. doi : 10.1098 / rspb.1986.0078 . ISSN 2053-9193 . PMID 2880348 .
^ CAPELLÁN, MAJ (1995). "PREPATRADO DE REACCIÓN-DIFUSIÓN Y SU POTENCIAL PAPEL EN LA INVASIÓN TUMORAL". Revista de sistemas biológicos . World Scientific Pub Co Pte Lt. 03 (4): 929–936. doi : 10.1142 / s0218339095000824 . ISSN 0218-3390 .
^ Sherratt, JA; Nowak, MA (22 de junio de 1992). "Oncogenes, anti-oncogenes y la respuesta inmune al cáncer: un modelo matemático". Actas de la Royal Society B: Ciencias Biológicas . La Royal Society. 248 (1323): 261–271. doi : 10.1098 / rspb.1992.0071 . ISSN 0962-8452 . PMID 1354364 .
^ RA Gatenby y ET Gawlinski, Cancer Res. 56 (1996): 5745
^ Sherratt, JA; Murray, JD (23 de julio de 1990). "Modelos de cicatrización de heridas epidérmicas". Actas de la Royal Society B: Ciencias Biológicas . La Royal Society. 241 (1300): 29–36. doi : 10.1098 / rspb.1990.0061 . ISSN 0962-8452 . PMID 1978332 .
^ P. Grindrod, Patrones y ondas: la teoría y aplicaciones de las ecuaciones de reacción-difusión, Clarendon Press (1991)
^ J. Smoller, Ondas de choque y ecuaciones de difusión de reacción, Springer (1994)
^ BS Kerner y VV Osipov, Autosolitones. Un nuevo enfoque a los problemas de la autoorganización y la turbulencia, Kluwer Academic Publishers (1994)
^ Lee, Kyoung-Jin; McCormick, William D .; Pearson, John E .; Swinney, Harry L. (1994). "Observación experimental de manchas autorreplicantes en un sistema de reacción-difusión". Naturaleza . Springer Nature. 369 (6477): 215–218. doi : 10.1038 / 369215a0 . ISSN 0028-0836 .
^ Hamik, Chad T; Steinbock, Oliver (6 de junio de 2003). "Ondas de excitación en medios de reacción-difusión con relaciones de dispersión no monótona" . Nueva Revista de Física . Publicación de IOP. 5 : 58. doi : 10.1088 / 1367-2630 / 5/1/358 . ISSN 1367-2630 .
^ Rotermund, HH; Jakubith, S .; von Oertzen, A .; Ertl, G. (10 de junio de 1991). "Solitones en una reacción de superficie". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 66 (23): 3083–3086. doi : 10.1103 / physrevlett.66.3083 . ISSN 0031-9007 . PMID 10043694 .
^ Graham, Michael D .; Lane, Samuel L .; Luss, Dan (1993). "Dinámica de pulsos de temperatura en un anillo catalítico". La Revista de Química Física . Sociedad Química Estadounidense (ACS). 97 (29): 7564–7571. doi : 10.1021 / j100131a028 . ISSN 0022-3654 .
^ Hodgkin, AL; Huxley, AF (28 de agosto de 1952). "Una descripción cuantitativa de la corriente de membrana y su aplicación a la conducción y excitación en el nervio" . La revista de fisiología . Wiley. 117 (4): 500–544. doi : 10.1113 / jphysiol.1952.sp004764 . ISSN 0022-3751 . PMC 1392413 . PMID 12991237 .
^ Bode, M .; Purwins, H.-G. (1995). "Formación de patrones en sistemas de reacción-difusión - solitones disipativos en sistemas físicos". Physica D: Fenómenos no lineales . Elsevier BV. 86 (1–2): 53–63. doi : 10.1016 / 0167-2789 (95) 00087-k . ISSN 0167-2789 .
^ E. Schöll, Dinámica espacio-temporal no lineal y caos en semiconductores, Cambridge University Press (2001)
^ S.Tang y col., J.Austral.Math.Soc. Ser.B 35 (1993): 223–243
^ Tim Hutton, Robert Munafo, Andrew Trevorrow, Tom Rokicki, Dan Wills. "Listo, una implementación multiplataforma de varios sistemas de reacción-difusión". https://github.com/GollyGang/ready
^ Isaacson, Samuel A .; Peskin, Charles S. (2006). "Incorporación de la difusión en geometrías complejas en simulaciones de cinética química estocástica". SIAM J. Sci. Computación . 28 (1): 47–74. CiteSeerX 10.1.1.105.2369 . doi : 10.1137 / 040605060 .
↑ Linker, Patrick (2016). "Métodos numéricos para resolver la ecuación de difusión reactiva en geometrías complejas" . El Aventador .
^ Herramientas de simulación para la dinámica de reacción-difusión basada en partículas en el espacio continuo https://link.springer.com/article/10.1186/s13628-014-0011-5
^ Fröhner, Christoph y Frank Noé. "Dinámica de reacción de partículas interactivas reversibles". La Revista de Química Física B 122.49 (2018): 11240-11250.

enlaces externos

Reacción-difusión por el modelo de Gray-Scott: parametrización de Pearson un mapa visual del espacio de parámetros de difusión de la reacción de Gray-Scott.
Una tesis sobre patrones de reacción-difusión con una descripción general del campo

[1] Wooley, TE, Baker, RE , Maini, PK , Capítulo 34, Teoría de la morfogénesis de Turing . En Copeland, B. Jack ; Bowen, Jonathan P .; Wilson, Robin ; Sprevak, Mark (2017). La guía de Turing . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0198747826.

[2] Kolmogorov, A., Petrovskii, I. y Piskunov, N. (1937) Estudio de una ecuación de difusión relacionada con el crecimiento de una calidad de materia y su aplicación a un problema biológico. Boletín de Matemáticas de la Universidad de Moscú, 1, 1-26.

[3] RA Fisher, Ann. EU G. 7 (1937): 355

[4] Newell, Alan C .; Whitehead, JA (3 de septiembre de 1969). "Ancho de banda finito, convección de amplitud finita". Revista de Mecánica de Fluidos . Cambridge University Press (CUP). 38 (2): 279-303. Código bibliográfico : 1969JFM .... 38..279N . doi : 10.1017 / s0022112069000176 . ISSN 0022-1120 .

[5] Segel, Lee A. (14 de agosto de 1969). "Las paredes laterales distantes provocan una modulación de amplitud lenta de la convección celular". Revista de Mecánica de Fluidos . Cambridge University Press (CUP). 38 (1): 203–224. Código bibliográfico : 1969JFM .... 38..203S . doi : 10.1017 / s0022112069000127 . ISSN 0022-1120 .

[6] YB Zeldovich y DA Frank-Kamenetsky, Acta Physicochim. 9 (1938): 341

[7] BH Gilding y R. Kersner, Ondas viajeras en la reacción de convección de difusión no lineal , Birkhäuser (2004)

[fife-8] P. C. Fife, Aspectos matemáticos de los sistemas de reacción y difusión , Springer (1979)

[mikhailov-9] A. S. Mikhailov, Fundamentos de Synergetics I. Distributed Active Systems, Springer (1990)

[10] Turing, AM (14 de agosto de 1952). "La base química de la morfogénesis" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie B, Ciencias Biológicas . La Royal Society. 237 (641): 37–72. Código Bibliográfico : 1952RSPTB.237 ... 37T . doi : 10.1098 / rstb.1952.0012 . ISSN 2054-0280 .

[fitzhugh-11] FitzHugh, Richard (1961). "Impulsos y estados fisiológicos en modelos teóricos de membrana nerviosa" . Revista biofísica . Elsevier BV. 1 (6): 445–466. Código Bibliográfico : 1961BpJ ..... 1..445F . doi : 10.1016 / s0006-3495 (61) 86902-6 . ISSN 0006-3495 . PMC 1366333 . PMID 19431309 .

[12] J. Nagumo y col., Proc. Inst. Radio Engin. Electr. 50 (1962): 2061

[13] Kopell, N .; Howard, LN (1973). "Soluciones de onda plana a ecuaciones de reacción-difusión". Estudios de Matemática Aplicada . Wiley. 52 (4): 291–328. doi : 10.1002 / sapm1973524291 . ISSN 0022-2526 .

[14] Vanag, Vladimir K .; Epstein, Irving R. (24 de marzo de 2004). "Patrones localizados estacionarios y oscilatorios y bifurcaciones subcríticas". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 92 (12): 128301. doi : 10.1103 / physrevlett.92.128301 . ISSN 0031-9007 . PMID 15089714 .

[15] Lobanova, ES; Ataullakhanov, FI (26 de agosto de 2004). "Ejecución de pulsos de forma compleja en un modelo de reacción-difusión". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 93 (9): 098303. doi : 10.1103 / physrevlett.93.098303 . ISSN 0031-9007 . PMID 15447151 .

[16] H.-G. Purwins y col. en: Solitones disipativos, Lectures Notes in Physics, Ed. N. Akhmediev y A. Ankiewicz, Springer (2005)

[17] Schenk, CP; Or-Guil, M .; Bode, M .; Purwins, H.-G. (12 de mayo de 1997). "Pulsos interactivos en sistemas de reacción-difusión de tres componentes en dominios bidimensionales". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 78 (19): 3781–3784. doi : 10.1103 / physrevlett.78.3781 . ISSN 0031-9007 .

[18] AW Liehr: Solitones disipativos en sistemas de difusión de reacción. Mecanismo, dinámica, interacción. Volumen 70 de Springer Series in Synergetics, Springer, Berlín Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2

[:0-19] Gupta, Ankur; Chakraborty, Saikat (enero de 2009). "Análisis de estabilidad lineal de modelos de alta y baja dimensión para describir la formación de patrones de mezcla limitada en reactores autocatalíticos homogéneos". Revista de Ingeniería Química . 145 (3): 399–411. doi : 10.1016 / j.cej.2008.08.025 . ISSN 1385-8947 .

[20] LG Harrison, Teoría cinética del patrón de vida, Cambridge University Press (1993)

[21] Duran-Nebreda, Salva; Pla, Jordi; Vidiella, Blai; Piñero, Jordi; Conde-Pueyo, Nuria; Solé, Ricard (15 de enero de 2021). "Inhibición lateral sintética en patrones periódicos que forman colonias microbianas" . Biología sintética ACS . 10 (2): 277–285. doi : 10.1021 / acssynbio.0c00318 . ISSN 2161-5063 . PMID 33449631 .

[22] H. Meinhardt, Modelos de formación de patrones biológicos, Academic Press (1982)

[Murray2013-23] Murray, James D. (9 de marzo de 2013). Biología Matemática . Springer Science & Business Media. págs. 436–450. ISBN 978-3-662-08539-4.

[24] Holmes, EE; Lewis, MA; Banks, JE; Veit, RR (1994). "Ecuaciones diferenciales parciales en ecología: interacciones espaciales y dinámica de poblaciones". Ecología . Wiley. 75 (1): 17-29. doi : 10.2307 / 1939378 . ISSN 0012-9658 . JSTOR 1939378 .

[25] Murray, James D .; Stanley, EA; Brown, DL (22 de noviembre de 1986). "Sobre la propagación espacial de la rabia entre los zorros". Actas de la Royal Society of London. Serie B. Ciencias Biológicas . La Royal Society. 229 (1255): 111–150. doi : 10.1098 / rspb.1986.0078 . ISSN 2053-9193 . PMID 2880348 .

[26] CAPELLÁN, MAJ (1995). "PREPATRADO DE REACCIÓN-DIFUSIÓN Y SU POTENCIAL PAPEL EN LA INVASIÓN TUMORAL". Revista de sistemas biológicos . World Scientific Pub Co Pte Lt. 03 (4): 929–936. doi : 10.1142 / s0218339095000824 . ISSN 0218-3390 .

[27] Sherratt, JA; Nowak, MA (22 de junio de 1992). "Oncogenes, anti-oncogenes y la respuesta inmune al cáncer: un modelo matemático". Actas de la Royal Society B: Ciencias Biológicas . La Royal Society. 248 (1323): 261–271. doi : 10.1098 / rspb.1992.0071 . ISSN 0962-8452 . PMID 1354364 .

[28] RA Gatenby y ET Gawlinski, Cancer Res. 56 (1996): 5745

[29] Sherratt, JA; Murray, JD (23 de julio de 1990). "Modelos de cicatrización de heridas epidérmicas". Actas de la Royal Society B: Ciencias Biológicas . La Royal Society. 241 (1300): 29–36. doi : 10.1098 / rspb.1990.0061 . ISSN 0962-8452 . PMID 1978332 .

[30] P. Grindrod, Patrones y ondas: la teoría y aplicaciones de las ecuaciones de reacción-difusión, Clarendon Press (1991)

[31] J. Smoller, Ondas de choque y ecuaciones de difusión de reacción, Springer (1994)

[32] BS Kerner y VV Osipov, Autosolitones. Un nuevo enfoque a los problemas de la autoorganización y la turbulencia, Kluwer Academic Publishers (1994)

[33] Lee, Kyoung-Jin; McCormick, William D .; Pearson, John E .; Swinney, Harry L. (1994). "Observación experimental de manchas autorreplicantes en un sistema de reacción-difusión". Naturaleza . Springer Nature. 369 (6477): 215–218. doi : 10.1038 / 369215a0 . ISSN 0028-0836 .

[34] Hamik, Chad T; Steinbock, Oliver (6 de junio de 2003). "Ondas de excitación en medios de reacción-difusión con relaciones de dispersión no monótona" . Nueva Revista de Física . Publicación de IOP. 5 : 58. doi : 10.1088 / 1367-2630 / 5/1/358 . ISSN 1367-2630 .

[35] Rotermund, HH; Jakubith, S .; von Oertzen, A .; Ertl, G. (10 de junio de 1991). "Solitones en una reacción de superficie". Cartas de revisión física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 66 (23): 3083–3086. doi : 10.1103 / physrevlett.66.3083 . ISSN 0031-9007 . PMID 10043694 .

[36] Graham, Michael D .; Lane, Samuel L .; Luss, Dan (1993). "Dinámica de pulsos de temperatura en un anillo catalítico". La Revista de Química Física . Sociedad Química Estadounidense (ACS). 97 (29): 7564–7571. doi : 10.1021 / j100131a028 . ISSN 0022-3654 .

[37] Hodgkin, AL; Huxley, AF (28 de agosto de 1952). "Una descripción cuantitativa de la corriente de membrana y su aplicación a la conducción y excitación en el nervio" . La revista de fisiología . Wiley. 117 (4): 500–544. doi : 10.1113 / jphysiol.1952.sp004764 . ISSN 0022-3751 . PMC 1392413 . PMID 12991237 .

[38] Bode, M .; Purwins, H.-G. (1995). "Formación de patrones en sistemas de reacción-difusión - solitones disipativos en sistemas físicos". Physica D: Fenómenos no lineales . Elsevier BV. 86 (1–2): 53–63. doi : 10.1016 / 0167-2789 (95) 00087-k . ISSN 0167-2789 .

[39] E. Schöll, Dinámica espacio-temporal no lineal y caos en semiconductores, Cambridge University Press (2001)

[40] S.Tang y col., J.Austral.Math.Soc. Ser.B 35 (1993): 223–243

[41] Tim Hutton, Robert Munafo, Andrew Trevorrow, Tom Rokicki, Dan Wills. "Listo, una implementación multiplataforma de varios sistemas de reacción-difusión". https://github.com/GollyGang/ready

[42] Isaacson, Samuel A .; Peskin, Charles S. (2006). "Incorporación de la difusión en geometrías complejas en simulaciones de cinética química estocástica". SIAM J. Sci. Computación . 28 (1): 47–74. CiteSeerX 10.1.1.105.2369 . doi : 10.1137 / 040605060 .

[43] Linker, Patrick (2016). "Métodos numéricos para resolver la ecuación de difusión reactiva en geometrías complejas" . El Aventador .

[44] Herramientas de simulación para la dinámica de reacción-difusión basada en partículas en el espacio continuo https://link.springer.com/article/10.1186/s13628-014-0011-5

[45] Fröhner, Christoph y Frank Noé. "Dinámica de reacción de partículas interactivas reversibles". La Revista de Química Física B 122.49 (2018): 11240-11250.

[1]